Kalman算法、扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）的比较
目录
一、Kalman算法
Kalman算法优缺点：
二、扩展卡尔曼滤波（EKF）
原理：
扩展Kalman算法优缺点：
步骤简化：
优点简化：
缺点简化：
三、无迹卡尔曼滤波（UKF）
Unscented 滤波的主要优点:
原理：
步骤：
优点：
缺点：
四、对比总结：
五、选择建议
六、示例应用
七、代码资源
一、Kalman算法
卡尔曼(Kalman)于1960年提出的，卡尔曼(Kalman)滤波是一种线性最小方差估计。该递推算法可以利用状态空间方法构建系统模型和完成整个滤波过程，并能在计算机上较方便的实现。卡尔曼(Kalman)滤波具有较好的滤波性能，在线性高斯白噪声假设条件下滤波过程能得到最优状态估计。现在卡尔曼(Kalman)滤波理论已经被广泛应用于各个领域,特别是在目标跟踪领域中的应用是相当成功的。
Kalman算法优缺点：
Kalman 滤波理论是 Bayes 估计理论对一类状态估计问题的解决方法。就前面所作的关于系统初始状态变量x(0)及系统噪声序列的高斯假定而言,Kalman滤波器是最优的最小均方误差(MMSE)估计器。假如上述的随机变量不是高斯随机变量,而仅知道它们的前二阶矩(均值及协方差),那么,这时的Kalman滤波器是最好的线性状态估计器,即线性最小均方误差(LMMSE)估计器。它由于具有模型简单、数据存储量小的特点,特别适用于计算机应用,被广泛应用于航天、航空、航海、系统工程、通信、工业过程控制、遥感等多个领域在系统建模过程中,由于模型简化、噪声统计特性不准确、对实际系统初始状态的统计特性建模不准、实际系统的参数发生变动等诸多因素的影响,使得系统模型往往存在一定的不确定性。Kalman 滤波对于模型不确定性的鲁棒性很差,导致状态估计不准,甚至出现发散。
另外在应用Kalman滤波算法时,除了尽可能精确的描述动态方程外,还有一个重要的问题就是如何选取Q(k),选取的好坏直接影响滤波精度,当动态模型不精确时,这种影响更大。选取Q(k)的一个基本原则是:将它的大小与动态模型的精度相匹配。
二、扩展卡尔曼滤波（EKF）
在实际的状态估计问题中,即使是很简单的系统,也是非线性系统。尽管在处理某些系统状态变量相对变化率较小的非线性系统时,可以将系统分段线性化,再利用常规的Kalman 滤波算法进行状态估计,但是这样的处理方法可能会产生很多问题，如滤波发散、收敛速度慢、模型近似度不高等。同时在很多时候,比如在目标进行机动时,须采用非线性滤波来实现目标运动状态估计。扩展Kalman滤波(EKF)是种最常用的非线性滤波算法,它可以解决以上提到的问题(尽管不能完全解决)。
原理：
EKF通过对非线性系统进行线性化来处理非线性问题。它采用泰勒级数展开，将非线性函数近似为线性函数来进行状态预测和更新。
扩展Kalman算法优缺点：
扩展Kalman滤波是一种比较常用的非线性滤波方法,它的优点有如下：
(1)计算速度快,存储量低,在工程应用方面有明显的优势。
(2)在高斯白噪声且非线性强度低的环境中,算法稳定、收敛速度较快、估计精度较高。
但是也存在如下一些缺点。
(1)扩展Kalmman 滤波需要计算雅可比矩阵,而且在非线性强度大的环境中线性化误差容易增大,估计精度会明显下降,甚至发散。后面介绍的基于UT变换的滤波方法不需要求导计算雅可比矩阵,且能解决非线性强度大的系统。
(2)当初始状态相对误差较大时,扩展Kalman 滤波很不稳定、收敛速度慢估计精度较低。
(3)在复杂的非高斯环境中,扩展Kalman滤波算法也不适用。3.10节介绍的粒子滤波算法能解决非高斯白噪声干扰下的状态估计问题。近似为线性函数来进行状态预测和更新。
步骤简化：
预测：使用非线性状态方程进行预测，并用雅可比矩阵对其线性化。
更新：用线性化的观测方程和卡尔曼增益更新状态估计。
优点简化：
计算复杂度较低，适合实时应用。
在非线性程度不高的系统中表现良好。
缺点简化：
线性化过程可能带来较大的误差，特别是在非线性程度较高的情况下。
需要计算雅可比矩阵，这在某些情况下可能比较复杂。
三、无迹卡尔曼滤波（UKF）
扩展Kalman滤波器是实际非线性系统中应用最广泛的状态估计算法。然而,当系统的非线性变得相当严重的时候,扩展Kalman滤波可能就很难与系统实际状态保持一致,经常给出不可靠的状态估计量。这是因为扩展 Kalman 滤波在传播状态均值及协方差时使用了线性化的方法。本节讨论的无味滤波(unscented filter,UF),又称为 UKF(unscented Kalman filter),是Julier等提出的一种新的非线性滤波方法。Unscented滤波具有类似Kalman滤波的算法流程,它的最大特点是减小了扩展Kalman滤波中引人的线性化误差。与扩展Kalman滤波不同,它并不对非线性状态方程和观测方程在估计点处线性近似而是利用无味变换(unscented transform,UT)在估计点附近确定采样,用这些样本点表示的高斯密度近似状态的概率密度函数,由于也是假定概率密度函数近似高斯分布,因此也属于一种矩匹配方法。
Unscented 滤波的主要优点:
(1)对于非线性系统,与扩展Kalman滤波比较起来,Unscented 滤波不需要计算矩阵的雅可比式,计算简单且更容易实现。
(2)Unscented滤波对高斯型密度函数可以精确估计到三阶,对非高斯型密度函数可以精确估计到二阶,因此其估计精度比一阶扩展Kalman 滤波更高,和阶扩展 Kalman 滤波相同。
(3)在计算量方面,Unscented 滤波是一阶扩展Kalman滤波的 2n+1倍为达到同样的估计精度,其样本数远小于的粒子滤波所需要的样本数,因此计算量远小于后者。
总的来看,对于概率密度近似高斯的非线性滤波而言,Unscented 滤波是个综合性能较优的方法;当密度函数和高斯函数差别较大时(如倾斜、双峰现象),其估计精度变差,此时基于密度估计的方法更好。
尽管Unscented滤波存在以上的许多优点,但它还有很大的性能提升空间,这包括Unscented滤波的滤波稳定性,具有时延测量的 Unscented 滤波以及 Unscented 滤波与 H的混合滤波等。
原理：
UKF采用无迹变换（Unscented Transform），通过一组确定性的采样点（称为sigma点）来捕捉非线性函数的统计特性。这些采样点经过非线性变换后，可以更准确地估计状态分布。
步骤：
生成sigma点：根据当前状态估计和协方差矩阵生成一组sigma点。
预测：将这些sigma点通过非线性状态方程进行预测，计算预测状态和协方差。
更新：使用观测方程处理sigma点，更新状态和协方差。
优点：
对非线性系统的处理更加准确，因为不需要线性化过程。
更适用于高度非线性的系统，提供更高的估计精度。
缺点：
计算复杂度较高，因为需要处理多个sigma点。
在某些高维问题中可能效率较低。
四、对比总结：
计算复杂度：EKF通常计算复杂度较低，而UKF计算复杂度较高。
处理非线性能力：UKF在处理高度非线性系统时表现更好，精度更高；EKF在非线性程度不高的系统中也能有效工作。
实现复杂度：EKF需要计算雅可比矩阵，这在某些情况下较复杂；UKF不需要计算雅可比矩阵，但需要生成和处理sigma点，逻辑上更复杂。
五、选择建议
系统非线性程度低，计算资源有限：选择EKF。
系统非线性程度高，需要高精度估计：选择UKF。
六、示例应用
EKF：用于无人机姿态估计、汽车导航系统中，适用于实时性要求较高且系统非线性不太强的场景。
UKF：用于机器人定位与地图构建（SLAM）、复杂轨迹跟踪系统中，适合非线性较强的环境。
七、代码资源
- 无迹kalman滤波原理、算法实现 - 灿影之晶 - 博客园
- GitHub - elapse-ai/filterpy: Python Kalman filtering and optimal estimation library. Implements Kalman filter, particle filter, Extended Kalman filter, Unscented Kalman filter, g-h (alpha-beta), least squares, H Infinity, smoothers, and more. Has companion book 'Kalman and Bayesian Filters in Python'.
- https://github.com/rlabbe/Kalman-and-Bayesian-Filters-in-Python/
- 图解卡尔曼滤波(Kalman Filter)