【永磁同步电机（PMSM）】 2. 数学模型

通过对PMSM的磁路分析得到磁链方程，电路分析得到电压方程，机械分析得到运动方程，由此建立PMSM控制的数学模型。

1. 模型假设和磁路电路分析

永磁同步电机是一个非线性系统，具有多变量、强耦合的特点。

永磁电机的定子绕组在定子铁心周边的定子槽中呈现正弦分布，三相a,b,c相差120度，在稳态运行时产生平稳的旋转磁场.

永磁电机的转子是永磁体，永磁磁极直轴d和交轴q,呈现90度夹角，直轴d位于磁极整个长度的最大磁通密度点上，这是在磁极的中心。d,q轴固定在转子上并随转子旋转。

1.1 模型假设

模型假设如下：

• 忽略铁芯饱和，不计涡流和磁滞损耗；
• 忽略换相过程中的电枢反应；
• 转子上无阻尼绕组，永磁体无阻尼作用；
• 永磁体产生的磁场和三相绕组产生的感应磁场呈正弦分布；
• 定子绕组电流在气隙中只产生正弦分布的磁势，无高次谐波。

1.2 磁路分析—磁链方程

（1）定子绕组产生旋转的、大小变化的磁链 ${\Psi }_c$：

$${\Psi }_c=L_s{i}_s{e}^{j{w}_{e}t}$$

式中，$L_s$ 是定子电感，$i_s$ 是定子电流，$w_e$ 是电角速度，$e^{j{w}_{e}t}$是磁链旋转速度。

（2）转子永磁体产生旋转的、大小不变的磁链 ${\Psi }_f$：

$${\Psi }_f={\phi }_f{e}^{j{w}_{e}t}$$

（3）电路中的总磁链 ${\Psi }_s$：

$${\Psi }_s={\Psi }_f+{\Psi }_c$$

1.3 电路分析—电压方程

（1）定子绕组电压方程：

$$u_s=R_s{i}_s+\frac{d{\Psi }_s}{dt}$$

式中，$u_s$ 为定子绕组电压，$R_s$为定子绕组电阻。

（2）电压平衡方程：

代入磁链方程可得：

$$u_s=R_s{i}_s+L_s\frac{d{i}_s}{dt}+j{w}_e{\phi }_f$$

1.4 机械分析—运动方程

电机的电磁转矩主要用于电机的负载转矩、转动惯量与阻尼做功。

$$J\frac{d{\omega }_m}{dt}=T_e-T_L-B{\omega }_m$$

式中，${\omega }_m$为电机的机械角速度，J为转动惯量，B为阻尼系数，TL为负载转矩。

$$\begin{gathered} {\omega }_m={\omega }_e/P_n \\ {N}_r=60\frac{{\omega }_m}{2\pi }=30{\omega }_m/\pi \\ {\theta }_e={\int }_0^t{\omega }_{e}dt \end{gathered}$$

2. 三相静止坐标系的数学模型

根据上述模型假设和分析，在 a-b-c 三相静止坐标系建立PMSM的数学模型。

2.1 电压方程

$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_s& 0& 0\\ 0& R_s& 0\\ 0& 0& R_s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]+\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\Psi }_a\\ {\Psi }_b\\ {\Psi }_c\end{array}\right]$$

式中，Rs 为定子绕组的电枢电阻，${\Psi }_a,{\Psi }_b,{\Psi }_c$ 分别为 a,b,c 三相磁链，ia,ib,ic分别为a,b,c三相的相电流。

2.2 磁链方程

$$\left[\begin{array}{c}{\Psi }_a\\ {\Psi }_b\\ {\Psi }_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{aa}& M_{ab}& M_{ac}\\ M_{ba}& L_{bb}& M_{bc}\\ M_{ca}& M_{cb}& L_{cc}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]+{\Psi }_f\left[\begin{array}{c}cos(\theta )\\ cos(\theta -2\pi /3)\\ cos(\theta +2\pi /3)\end{array}\right]$$

$$\begin{gathered} L_{aa}=L_1+L_{2}cos(2\theta ) \\ {L}_{bb}=L_1+L_{2}cos(2\theta +2\pi /3) \\ {L}_{cc}=L_1+L_{2}cos(2\theta -2\pi /3) \\ {M}_{ab}=M_{ba}=-\frac{1}{2}{L}_1+L_{2}cos(2\theta -2\pi /3) \\ {M}_{bc}=M_{cb}=-\frac{1}{2}{L}_1+L_{2}cos(2\theta ) \\ {M}_{ca}=M_{ac}=-\frac{1}{2}{L}_1+L_{2}cos(2\theta +2\pi /3) \end{gathered}$$

式中：Laa、Lbb、Lcc为各相绕组自感（与转子位置有关），且Laa=Lbb=Lcc；Mab等为绕组之间的互感（也与转子位置有关），且均相等。ψf是永磁体磁链，θ为转子 N极和a相轴线之间的夹角（转子的电角度）。

2.3 电磁转矩方程

根据机电能量转换原理，电磁转矩等于磁场储能对转子机械角位移的偏导

$$T_e=\frac{P_e}{{\omega }_m}=\frac{P_e}{2\pi n/60}=9.55\frac{P_e}{n}$$

式中，Pn 为电机的极对数，θm为机械角，wm为机械角速度，we为电角速度（rad/s），n为机械转速（rpm）。

2.4 电机机械运动方程

$$J\frac{d{\omega }_m}{dt}=T_e-T_L-B{\omega }_m$$

式中，Wm为电机的机械角速度，J为转动惯量，B为阻尼系数，TL为负载转矩。

3. 变换到 αβ 两相静止坐标系

在 a-b-c 三相静止坐标系建立PMSM的数学模型，由于电机处于高速旋转运动状态，旋转速度和转子角度与磁链的耦合使模型方程非常复杂，难以分析和求解。

通过数学变换将 a-b-c 三相静止坐标系转换到 d-q 同步旋转坐标系，可以对模型进行解耦和简化。这种思想就好比用极坐标处理转动问题，通常比直角坐标简单的多。

3.1 Clarke 变换

首先，使用 Clarke变换（用T3s/2s 表示），将 abc 三相静止坐标系（自然坐标系）转换到虚拟的 αβ 两相静止坐标系。

虚拟两相静止坐标系的假设：虚拟电机有两个虚拟的绕组，呈90°轴距分布，在定子槽中呈正弦分布，这两个绕组分别为直轴绕组和交轴绕组，即α，β轴。为简化分析过程，可以在建立α-β静止坐标系时将α轴与a-b-c静止坐标系的a相轴重合。

将abc三相静止坐标系下的 fa,fb,fc 分别映射到α-β轴上，得到虚拟物理量 fα, fβ，并分别表示任意的双绕组虚拟电机的时变电压，电流，磁链。

在电网电压平衡条件下，电网电压只存在正序分量，在abc坐标系下表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=U\left[\begin{array}{c}cos(\omega t)\\ cos(\omega t-2\pi /3)\\ cos(\omega t+2\pi /3)\end{array}\right]$$

其中，U 为相电压幅值，$\omega =2\pi f$ 为三相交流电压的角频率，f 为电压频率。

通过Clarke变换，将三相电压从abc三相静止坐标系变换到αβ两相静止坐标系：

$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\\ u_o\end{array}\right]=T_{3s/2s}u(abc)=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -1/2& -1/2\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_o\end{array}\right]=T_{3s/2s}i(abc)=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -1/2& -1/2\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$

式中，$u_0,i_0$ 为零序分量。

Clarke变换的逆变换，称为反Clarke变换（用T2s/3s表示）。

$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=T_{2s/3s}u(\alpha \beta )=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1/2& \sqrt{3}/2\\ -1/2& -\sqrt{3}/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]$$

3.2 电压方程

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}{u}_{\alpha }=R_s{i}_{\alpha }+\frac{d{\Psi }_{\alpha }}{dt}\\ u_{\beta }=R_s{i}_{\beta }+\frac{d{\Psi }_{\beta }}{dt}\end{array}\end{array}$$

3.3 磁链方程

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}\frac{d{\Psi }_{\alpha }}{dt}=L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}+e_{\alpha }=L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}-{\omega }_e{\phi }_{f}sin(\theta )\\ \frac{d{\Psi }_{\beta }}{dt}=L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}+e_{\beta }=L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}-{\omega }_e{\phi }_{f}sin(\theta )\end{array}\end{array}$$

3.4 转矩方程

abc三相静止坐标系与 αβ两相静止坐标系的输入功率相等。

$$\begin{gathered} P_{1abc}=u_a{i}_a+u_b{i}_b+u_c{i}_c \\ {P}_{1\alpha \beta }=\frac{3}{2}(u_{\alpha }{i}_{\alpha }+u_{\beta }{i}_{\beta }+u_0{i}_0) \\ {P}_{1abc}=P_{1\alpha \beta } \\ {u}_a+u_b+u_c=0 \\ {i}_a+i_b+i_c=0 \end{gathered}$$

电磁功率方程：
$$T_e=\frac{P_e}{{\omega }_m}=\frac{3}{2}{P}_n({\psi }_{\alpha }{i}_{\beta }-{\psi }_{\beta }{i}_{\alpha })$$

Pn 为电机极对数。

4. 变换到 d-q 两相静止坐标系

abc坐标系转换到αβ坐标系后，模型参数仍然随时间变化，使得控制系统设计变得复杂。Krause 提出了转子旋转坐标系，即 d-q 同步旋转坐标系，通过与电机转子同步的的旋转参考坐标系来处理随时间变化的变量。

d-q同步旋转参考坐标系有两个固定在转子上的正交轴，包括与转子永磁磁极的磁轴对齐的直轴（即d轴），和正交垂直于直轴的交轴（q轴）。通常规定在转子旋转方向上 d轴超前q轴90°。

通过 Park 变换，将 αβ两相静止坐标系转换到 dq 同步旋转坐标系，得到在 dq坐标系下的数学模型。于是，三相静止坐标系的交流输入信号被变换为同步旋转坐标系的直流量。

4.1 Park 变换

d轴与α（A）轴之间存在空间夹角θ，θ的大小与取决于转子转速和起始角度值。

从两相静止αβ坐标系到旋转dq坐标系的系统变换，可以通过将αβ坐标系的物理量分别投射到dq坐标轴上，然后进行对dq轴上的各个分量进行代数求和。

从α-β静止坐标系变换到d-q旋转坐标的变换，称为Park变换，用T2s/2r 表示。
在无中性点接地的三相星形连接电路和三角形连接电路中，存在 $f_a+f_b+f_c=0$，因此零分量 $f_0$ 可以省略。

$$\left[\begin{array}{c}{f}_d\\ f_q\end{array}\right]=T_{2s/2r}u(\alpha \beta )=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& sin(\theta )\\ -sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_{\alpha }\\ f_{\beta }\end{array}\right]$$

式中，$\theta ={\int }_0^t{\omega }_{r}dt+{\theta }_0$，${\omega }_r$ 是转子旋转速度，${\theta }_0$ 为初始角度。

也可以将 Clarke 变换与 Park 变换合并，直接从 abc 三相静止坐标系变换到 dq 同步旋转坐标系，用T3s/2r 表示：

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=T_{2s/2r}u(\alpha \beta )=T_{2s/2r}[T_{3s/2s}u(abc)] \\ =\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}cos(\theta )& cos(\theta -2\pi /3)& cos(\theta +2\pi /3)\\ -sin(\theta )& -sin(\theta -2\pi /3)& -sin(\theta +2\pi /3)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right] \end{gathered}$$

4.2 电压方程

$$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}_s& -{\omega }_e{L}_q\\ {\omega }_e{L}_d& R_s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]+\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\psi }_d\\ {\psi }_q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ {\omega }_e{\psi }_f\end{array}\right]$$

即：

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{u}_d& =R_s{i}_d-{\omega }_e{L}_q{i}_q+L_d\frac{d{i}_d}{dt}\\ u_q& =R_s{i}_q+{\omega }_e{L}_d{i}_d+L_q\frac{d{i}_q}{dt}+{\omega }_e{\psi }_f\end{array}\end{array}$$

式中：ud、uq为d轴、q轴电压，id、iq为d轴、q轴电流，ψd、ψq为d轴、q轴磁链，Ld、Lq为d轴、q轴电感，${\omega }_e$为转子旋转电角速度。

去除电压方程中的微分项，就得到 d-q 同步旋转坐标系的稳态电压方程。

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{u}_d& =R_s{i}_d-{\omega }_e{L}_q{i}_q\\ u_q& =R_s{i}_q+{\omega }_e{L}_d{i}_d+{\omega }_e{\psi }_f\end{array}\end{array}$$

4.3 磁链方程

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{\psi }_d& =L_d{i}_d+{\psi }_f\\ {\psi }_q& =L_q{i}_q\end{array}\end{array}$$

式中，ψf 为永磁体磁链。

由磁链方程可知，d，q 轴上的磁链分量都是由各自轴上的电流分量产生的，因而实现了解耦。

其中，Ld，Lq为：

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{L}_d& =\frac{3}{2}(L_1+L_2)\\ L_q& =\frac{3}{2}(L_1-L_2)\end{array}\end{array}$$

式中，L1表示空间基本气隙磁链产生的电感分量，L2表示转子位置依赖磁链产生的电感分量。

4.4 转矩方程

$$\begin{gathered} T_e=\frac{3}{2}{n}_p({\Psi }_d{i}_q-{\Psi }_q{i}_d) \\ =\frac{3}{2}{P}_n[{\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q] \end{gathered}$$

电磁转矩包括两个部分：

• 磁体转矩 $T_m=\frac{3}{2}{P}_n{\psi }_f{i}_q$，也称永磁转矩，是由定子磁场与转子永磁磁场之间的相互作用产生的转矩；
• 磁阻转矩 $T_r=\frac{3}{2}{P}_n(L_d-L_q)i_d{i}_q$，是因转子直轴和交轴磁阻（或电感）不相等（即Ld≠Lq）引起的转矩。

对于表贴式三相PMSM 有 Lq=Ld，磁阻转矩 $T_r=0$，于是简化为：$T_e=\frac{3}{2}{P}_n{\psi }_f{i}_q$。

电机电磁转矩与 d轴和 q轴的电流 id，iq 直接相关，并且与电机参数（永磁体磁链ψf，d轴和q轴电感Ld，Lq，电机的极对数Pn）有关。

4.5 功率因数

在稳态下，功率和转矩方程式也是成立的。电机的功率因数为 PF=cos（φ），功率因数角 φ=γ-α，即电压矢量超前电流矢量的角度差。其中，γ为电压矢量的角度，α电流矢量的角度。

$$cos(\phi )=\frac{1}{\sqrt{1+[\frac{L_q{i}_q^2+{\psi }_f{i}_d+L_d{i}_d^2}{{\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q}{]}^2}}$$

基于以上数学模型，我们就可以使用 Matlab/Simulink 搭建模型进行仿真。