Float类型的有效位数有几位

大家好，今天我们来聊一聊C语言中的Float类型。

正如标题所说，你知道Float类型的有效位数有几位吗？

或者你知道为什么Float类型可以表示数字16777218但是却无法表示16777217吗？

如果你不是很确定那我们就一起来看看吧，有疑问或者想法可以在评论区讨论~

有效位数与科学计数法

理解有效位数和科学计数法是理解Float精度的关键概念。

这两个概念在二进制与十进制下是一样的，我们所要讨论的Float有效位数也是针对于十进制而言的。

有效位数是指一个数值中确切有效的数字，即所有可以精确表示的数字。

有效位数的规则：

• 有效位数从第一个非零数字开始。

  0.00123 有3个有效位数，因为有效位数从第一个非零的1开始

• 数字中的所有非零数字都是有效的。

  123.45 有5个有效位数，因为所有的数字都是确定的

• 小数点右边的所有零如果是有效数字的一部分，则计入有效位数。

  100.0 有4个有效位数，因为小数点右边的零是有意义的

• 小数点左边的零不算有效位数。（这条很重要）

  100 有1个有效位数

科学计数法的主要目的是简化书写和计算，同时使数值中的有效位数更容易理解。

它的写法如下：
$$N=M\times 10^k$$
其中：

• M 是一个1到10之间的实数，是有效位数的表示。
• k 是一个整数，表示这个数是乘以或除以10的k次幂。

示例：

• 123000 的有效位数为3，用科学计数法表示为：
  $$1.23\times 10^5$$

• 0.000456 的有效位数为3，用科学计数法表示为：
  $$4.56\times 10^{-4}$$
  Tips:

  科学计数法中指数部分不影响有效位数

上面两个概念明白以后，我们就可以来分析下Float类型的有效位数了。

Float类型在计算机中的表示

Float类型是单精度浮点数，它在计算机中存储与表示的方法其实就是有效位数+科学计数法。

Float类型占用4个字节（32位），按照IEEE 754标准的结构，单精度浮点数被划分为三个部分：

• 符号位（sign）：1位，表示数值的正负号。

• 指数部分（exponent）：8位，用于表示数值的范围，通过偏移量来确定实际指数。

• 尾数部分（mantissa）：23位，用于表示数值的有效位，隐含一位1，所以实际上有24位有效数字。

  Tips:

  对于非零数值，浮点数的二进制表示是以**1.XXXX…**的形式存在的，小数点前的1是隐含的，不需要实际存储。

  由于这个1总是存在，因此可以把它省略掉，从而节省1位存储空间。

  这就是所谓的隐含的1位。

浮点数表示的形式为：
$$V=(-1{)}^{\text{sign}}\times 1.\text{mantissa}\times 2^{\text{exponent}-127}$$

Tips:

对单精度浮点数来说，指数部分占8位，其表示范围是0到255。为了表示负指数和正指数的范围，存储的指数实际值需要减去127，称为偏移量。

Float类型的有效位数

现在我们知道，Float类型的有效位是由尾数决定的，由于尾数的位数是固定的，因此尾数也就有了最大值的限制。

不难想到，当有效数字超过了尾数所能表示的最大的数时，Float类型就会丢失精度。

那么尾数所能表示的最大数字是多少呢？

由于有符号位，因此所有尾数都可以用来表示数值，于是24位二进制数能表示的最大值就是：

1111 1111 1111 1111（有效位数为24位）

转换为十进制就是：16777215

然后我们来看下16777216、16777217、16777218的二进制表示：

• 16777216： 1 0000 0000 0000 0000

  有效数字为1位，小于24位

• 16777217： 1 0000 0000 0000 0001

  有效数字为25位，大于24位

• 16777218： 1 0000 0000 0000 0010

  有效数字为24位，等于24位

看到这里，大家应该明白为什么Float类型可以表示16777218，却不能表示16777217了。

所以，当数值不超过16777216时，Float类型可以精确表示每一个整数；

当数值超过16777216时，Float类型不能再精确表示所有的数值，精度开始丢失。

因此，float类型的有效位数是7位（因为7位数是一定可以精确表示的）。

最后，我们可以通过一个简单的C程序来演示上述现象：

#include <stdio.h>int main() 
{float num1 = 16777216.0f;  // 可以表示的数float num2 = 16777217.0f;  // 超出精度的数float num3 = 16777218.0f;  // 可以表示的数printf("num1 = %.0f\n", num1);  // 输出：16777216printf("num2 = %.0f\n", num2);  // 输出：16777216printf("num3 = %.0f\n", num3);  // 输出：16777218return 0;
}

输出结果：

num1 = 16777216
num2 = 16777216
num3 = 16777218

可以看到，16777217 无法被精确表示，而 16777218 则可以。
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