利用四元数进行蛋白质原子坐标旋转变换

四元数简介

四元数（Quaternion）是一种扩展复数的数学工具，用于描述三维空间中的旋转操作。它比传统的旋转矩阵具有一些优点，比如避免**万向节锁（Gimbal Lock）**问题，并且在插值操作中更加稳定。四元数常用于计算机图形学、机器人学、航空航天等领域来表示物体的旋转。

一个四元数 q 由一个实数部分和一个虚数部分组成，可以表示为：

q=w+xi+yj+zk

其中，w 是实数部分，x、y、z 是虚数部分的系数。

四元数用于表示旋转时通常写成：

q=[w,x,y,z]

其中 w=cos⁡(θ/2)，(x,y,z)是旋转轴的单位向量乘以 sin(θ/2)，并且 θ 是旋转角度。

四元数旋转的优点

• 不容易出现奇点：相比欧拉角的旋转矩阵，四元数在空间旋转中不会出现万向节锁。
• 效率高：四元数的计算比旋转矩阵的乘法更高效。
• 插值方便：四元数适合用在旋转插值（如球形线性插值，Slerp）等场合。

四元数旋转公式

若我们有一个向量 vv，要通过四元数 qq 旋转它，过程如下：

1. 将向量 v 转换成一个四元数 vq，其形式为 vq=[0,vx,vy,vz]。
2. 计算 v′=q⋅vq⋅q−1，其中 q−1 是 q 的共轭，即 q−1=[w,−x,−y,−z]。
3. 结果 v′就是经过旋转后的向量。

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