数学基础 -- 欧拉恒等式的魅力：让复数旋转起来！
公式推导：
e i π = − 1 e^{i\pi} = -1 eiπ=−1
被誉为数学中最美的公式之一，它连接了五个数学中最重要的常数：
e i π + 1 = 0 (欧拉恒等式) e^{i\pi} + 1 = 0 \tag{欧拉恒等式} eiπ+1=0(欧拉恒等式)
这不仅是巧合，而是复数与三角函数、指数函数之间深层结构的必然结果。
现在我们就从欧拉公式出发，来详细推导并解释这个结论。
一、欧拉公式（Euler’s Formula）
欧拉公式是：
e i x = cos x + i sin x e^{ix} = \cos x + i\sin x eix=cosx+isinx
对任意实数 x x x 都成立。
二、令 x = π x = \pi x=π，代入欧拉公式
e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) eiπ=cos(π)+isin(π)
我们知道：
- cos ( π ) = − 1 \cos(\pi) = -1 cos(π)=−1
- sin ( π ) = 0 \sin(\pi) = 0 sin(π)=0
所以：
e i π = − 1 + i ⋅ 0 = − 1 e^{i\pi} = -1 + i \cdot 0 = -1 eiπ=−1+i⋅0=−1
三、这代表什么？
这个看似简单的公式，其实传达了非常深的含义：
1. 从复平面角度看：
- e i θ e^{i\theta} eiθ 表示复平面上模为 1、角度为 θ \theta θ 的点。
- 所以 e i π e^{i\pi} eiπ 是在单位圆上，从 1（即角度 0）逆时针转了 π \pi π 弧度，刚好到达 -1。
简单说，在复平面上从 1 1 1 出发逆时针转 180°（π弧度），就到 -1
2. 把「旋转」变成「负号」！
e i π = − 1 ⇒ e i π + 1 = 0 e^{i\pi} = -1 \Rightarrow e^{i\pi} + 1 = 0 eiπ=−1⇒eiπ+1=0
这是数学中最美的一种“桥接”现象。
四、数学界称之为“欧拉恒等式”的美：
它把五个最核心的常数联系在一起：
| 常数 | 含义 |
|---|---|
| e e e | 自然对数的底数，出现在增长模型中 |
| i i i | 虚数单位，满足 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1 |
| π \pi π | 圆周率，几何之母 |
| 1 1 1 | 乘法单位元 |
| 0 0 0 | 加法单位元 |
所以，欧拉恒等式：
e i π + 1 = 0 e^{i\pi} + 1 = 0 eiπ+1=0
被誉为是「上帝写给人类的方程」。
五、从泰勒展开再次验证
回顾这个式子：
e i x = ∑ n = 0 ∞ ( i x ) n n ! = cos x + i sin x e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = \cos x + i \sin x eix=n=0∑∞n!(ix)n=cosx+isinx
令 x = π x = \pi x=π：
- 偶数项变成 ( − 1 ) n π 2 n / ( 2 n ) ! (-1)^n \pi^{2n} / (2n)! (−1)nπ2n/(2n)!，即 cos π = − 1 \cos \pi = -1 cosπ=−1
- 奇数项变成 i ⋅ ( − 1 ) n π 2 n + 1 / ( 2 n + 1 ) ! i \cdot (-1)^n \pi^{2n+1} / (2n+1)! i⋅(−1)nπ2n+1/(2n+1)!，即 sin π = 0 \sin \pi = 0 sinπ=0
再次印证：
e i π = − 1 e^{i\pi} = -1 eiπ=−1
小结
| 项目 | 解释 |
|---|---|
| 推导方式 | 欧拉公式 + 三角函数值 |
| 几何解释 | 单位圆上旋转 π \pi π 弧度到 -1 点 |
| 代数解释 | 通过级数展开得到 |
| 意义 | 连通 e , i , π , 1 , 0 e, i, \pi, 1, 0 e,i,π,1,0，美妙的数学统一 |