WebGL数学手记:矩阵基础
一、矩阵的定义
矩阵，数学术语。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
1.英文发音（Matrix）
Matrix的发音类似于中文的[美吹克斯]，知道它的发音。方便后期看教程时能听懂别人讲什么。
2.定义
由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：
这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。
3.单位矩阵
二、矩阵运算
1.矩阵乘法
1.1前提条件
矩阵A的列数 = 矩阵B的行数
如果A是m×n矩阵，B必须是n×p矩阵，结果矩阵C将是m×p矩阵
1.2计算公式
对于矩阵C = A × B，其中A是m×n矩阵，B是n×p矩阵：
矩阵C的第i行第j列元素cij计算公式为：
cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ... + ain*bnj = Σ(aik * bkj) (k=1到n)
2.转置矩阵
将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。
的行列互换之后得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作
例如，
，
3.逆矩阵
对于一个n×n的方阵A，如果存在另一个n×n矩阵B，使得A × B = B × A = I
其中I是单位矩阵，那么：
-
矩阵A称为可逆矩阵（或非奇异矩阵）
-
矩阵B称为A的逆矩阵，记作A⁻¹
3.1存在意义
类似于倒数的概念，在几何运算中常用于撤回的操作，比如有一个矩阵 这个矩阵的线性变换是将坐标系逆时针旋转90（下面有讲到旋转矩阵），这时候有一个向量（1，1）乘这个矩阵，相当于逆时针旋转90度得到（-1,1）
*
=
在普通的实数运算中 一个变量x 乘 2 再乘 最终的结果是不变的，在向量的运算中也是这样
的逆矩阵是
*
=
三、几何意义
❗直白来说就是有一个矩阵A,让向量发生线性转换
1.平移矩阵
假设有一个平面点（x,y）,要做一个平移（x+tx，y+ty），把坐标（x,y）当成一个2x1的矩阵去找刚刚好的一个矩阵，因为2x2的矩阵不满足这样一个矩阵，就在3x3的矩阵中刚好找到这样的一个矩阵
[x'] [ 1 0 tx ] [x] [x + tx]
[y'] = [ 0 1 ty ] [y] = [y + ty]
[1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]所以下面这个矩阵通常就叫做平移矩阵
[ 1 0 tx ]
[ 0 1 ty ]
[ 0 0 1 ]同样的道理，如果在三维坐标中平移矩阵就是
[ 1 0 0 tx ]
[ 0 1 0 ty ]
[ 0 0 1 tz ]
[ 0 0 0 1 ]❓为什么需要矩阵多加一行和一列？
-
不加的话矩阵只能表示线性变换(旋转、缩放、剪切等)
-
平移是仿射变换，不是线性变换
-
通过增加一维(w分量)，可以将平移表示为线性变换
2.缩放矩阵
[x'] [ sx 0] [x] [x · sx]
[y'] = [ 0 sy] [y] = [y · sy]//二维
[ sx 0 ]
[ 0 sy]
//三维
[ sx 0 0 ]
[ 0 sy 0 ]
[ 0 0 sz]3.旋转矩阵
3.1绕X轴旋转(θ角度)
[x'] [ 1 0 0 ] [x] [x]
[y'] = [ 0 cosθ -sinθ ] [y] = [cosθy -sinθz]
[z'] = [ 0 sinθ cosθ ] [z] = [sinθy + cosθz][ 1 0 0 ]
[ 0 cosθ -sinθ]
[ 0 sinθ cosθ]如果上面的不好理解的话就假设θ再小一点儿
旋转后y值坐标为向量的模乘sin(α+θ)
由三角函数sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ、 sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ可得
y' = ycosθ + xsinθ 【💡y= sinα; x = cosα】
因为上图是逆时针旋转的，也就是说 θ是负数，所以真实的情况是
y' = ycosθ - xsinθ
以此类推可得出下面绕y轴旋转和绕z轴旋转的旋转矩阵
3.2绕Y轴旋转(θ角度)
[ cosθ 0 sinθ]
[ 0 1 0 ]
[ -sinθ 0 cosθ]3.3绕Z轴旋转(θ角度)
[ cosθ -sinθ 0]
[ sinθ cosθ 0]
[ 0 0 1]//二维的旋转矩阵
[ cosθ -sinθ]
[ sinθ cosθ]