011【fate/extra link】【概率论与数理统计】大数定律与中心极限定理 ，数理统计的基本概念，常用的统计三大分布，正态总体的抽样分布定理
星辰驰骋的终焉蔷薇，这是fate/extra link里面的尼禄.克劳狄乌斯
目录
第5章 大数定律与中心极限定理
5.1 Chebyshev不等式
5.2 大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
定理2（伯努利大数定律）
5.3 中心极限定理
第6章 数理统计的基本概念
6.2 总体与样本
6.3 样本观察值的整理
6.4 统计量与抽样分布
（二）t 分布
（三）F 分布
正态总体的抽样分布定理
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第5章 大数定律与中心极限定理
事件的频率在大样本下具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件的频率逐渐稳定于某个常数。大量测量值的平均值也具有这种稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景。
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的废品率
某字母使用频率
5.1 Chebyshev不等式
或
证：（就连续型证）
5.2 大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是相互独立的随机变量，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 Var(Xk) ≤C，k=1,2, …，则对任意的ε>0，
特别，当
则对任意的ε>0，
证：由切比雪夫不等式，
令n→∞,并注意概率不能大于1，
切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
与其数学期望
偏差很小的概率接近于1.
特别当
时,X1,X2,…,Xn的算术平均值
与其数学期望偏差
很小的概率接近于1.
切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
定理2（伯努利大数定律）
设nA是n重伯努利试验中事件A发生的 次数，p是事件A在每次试验中发生的概率， 则对任给的ε> 0，
或
伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.
下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.
定理3（辛钦大数定律）
辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.
5.3 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理 的客观背景。
定理1（独立同分布的中心极限定理 ）
设随机变量X1,X2,…,Xn,...相互独立，服从同一分布，且
则
的标准化变量
即n很大时，Yn近似服从N(0,1)，或
定理2(棣莫弗－拉普拉斯定理）
随机变量 服从二项分布B(n, p)，n=1,2,…,则对任意y，有
定理表明， 当n很大(一般n≥50)，0<p<1是一个定值时（或者说，np(1-p) 也不太小时），则 的标准化变量的分布近似标准正态分布， 或
例1.某单位内部有1000部电话分机，每部电话分机有10%的时间要用外线通话，假定各个电话用不用外线是相互独立的，问总部要备有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候。
解：对每部话机的观察作为一次试验，每次试验观察该话机在某时刻是否使用外线， 使用外线的概率为0.1，共进行1000 次试验.用Y表示在某时刻使用外线的话机数，
依题意，Y~B(1000,0.1),
设总部备有N条外线，现在的问题是：
求满足P(Y≤N)≥0.95的最小的N.
由德莫弗-拉普拉斯极限定理
近似服从N(0,1),
即总机应备有116条外线才能以95%以上的把握保证各个分机在使用外线时不等候。
例2.设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
解：记同时开着的灯数为X，X ~B(10000,0.7)
第6章 数理统计的基本概念
概率论、数理统计都是研究随机现象的统计规律性的数学分支，但两者研究角度不同。
概率论：从已知分布出发，研究随机变量X 的性质、规律、数字特征等等——演绎 数理统计：X 的分布不知道或不完全知道，观察它的取值（采集数据），通过分析数据来推断 X 服从什么分布或确定未知参数——归纳
6.2 总体与样本
1.总体：研究对象的全体（如：一批灯泡的寿命） 试验的全部可能的观察值 ——通常指研究对象的某项数量指标
个体：组成总体的元素（如:某一个灯泡的寿命）每个可能的观察值
总体对应一个r.v. X，笼统称总体X（或Y、Z大写表示）
从本质上讲，总体就是所研究的随机变量
2.样本
(1)简单随机抽样 ①随机性:每个个体被抽到的机会均等
②独立性:每次抽取后不改变总体的成分
(2)对总体作n次“简单随机抽样”，得到n个个体：X1,X2,…,Xn，称为总体的一个样本容量为n的样本, 简称样本。
①同分布性 Xi 与总体X 同分布
②独立性 X1 ,…,Xn 相互独立
(3)把（X1,…,Xn）的观察值 (x1,…,xn)为称为样本观察值(或样本值)
来自总体X的样本X1， … ，Xn可记为
显然，样本联合分布函数或概率密度为
或
3.. 总体、样本、样本观察值的关系
统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。
6.3 样本观察值的整理
经验分布函数
设X1,X2,…,Xn是总体F(x)的一个样本，S(x)是X1,X2,…,Xn中不大于x 的个数，定义经验分布函数为
Fn(x)=S(x) /n, -∞ <x<+∞
例1.设总体X有样本值x1=1,x2=2,x3=3,x4=2, 则X的经验分布函数为
一般，设样本值x1,x2,…,xn依次排列：
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n)
则经验分布函数为
定理 (格里汶科) 经验分布函数Fn(x)以概率1关于x一致收敛于F(x):
6.4 统计量与抽样分布
定义：设(X1,… ,Xn )是来自总体X 的样本，称不含未知参数的样本函数 g(X1,… ,Xn )为总体 X 的一个统计量。
注: 统计量是一个一维随机变量，统计量的分布称为抽样分布.
几个常用的统计量 ：
1. 样本均值
反映总体均值E(X)的信息
2. 样本方差
反映总体方差Var(X)的信息
样本标准差
反映总体标准差的信息
3. 样本k阶(原点)矩
反映总体k阶矩E(Xk)的信息
样本k阶中心矩
反映总体k 阶中心矩E[(X-EX)k]的信息
4. 最小顺序统计量 X(1)=min(X1,X2,…,Xn)
最大顺序统计量 X(n)=max(X1,X2,…,Xn)
注1： 观察值用小写表示,记为
1. χ2分布的密度函数f(y)曲线
2. χ2分布具有可加性
4. 分布的分位数
（二）t 分布
称为自由度为 n 的 t 分布。
1. t(n)的概率密度为
2. h(t)基本性质(p171):
(1) 关于t=0(纵轴)对称。
(2) 极限为N(0,1)的密度函数，即
3. t分布的分位点
（三）F 分布
2. F 分布的性质
正态总体的抽样分布定理
