蓝桥杯 之 回溯之充分剪枝

• 在蓝桥杯当中，对于回溯是属于一个必考的问题，但是除了回溯的几个基本的问题，如果通过剪枝来提前删去无效的分支，以大大减少时间复杂度是需要我们进一步思考的问题！
• 回溯的基本问题：
  • 回溯的初始状态
  • 回溯的状态转移
  • 回溯的结束状态
• 其中，这个剪枝的考点就可以在结束状态部分进行充分的考察
• 那么这个剪枝有哪些思路与思考？
  • 对于这个n个物体，求和的回溯问题：可以考虑使用前缀和，排序两个手段进行提前剪枝(以真题买瓜进行深入的分析)

买瓜

买瓜

• 首先按照正常的回溯的思路：

  • 首先考虑在回溯的过程中，我们需要记录什么参数？
    • 由于要更新这个最终的切西瓜的刀数，所以得设置一个变量记录当前的切西瓜的刀数
    • 那么当前是切的哪一个西瓜？所以还得记录一下这个所处理的西瓜的下标
    • 那么怎么知道当前的得到的西瓜的重量？所以还得设置一个变量去记录当前所得到的西瓜
  • 总的来说，回溯的过程中，需要三个变量(i, k, cursum),分别表示当前处理到的西瓜的下标，当前已经切的西瓜刀数，当前得到的西瓜的重量

• 考虑这个结束的状态与更新答案的状态

  • 结束的状态：当处理到的西瓜的下标达到n的时候，就返回(因为西瓜的下标是从0开始的，所以当处理到的西瓜的下标到达n就说明已经处理完了)
  • 更新的状态：当当前的重量等于目标重量的时候，就比较当前的切西瓜的次数与当前的切西瓜的最优次数，进行一个更新

• 由于有除以2的操作，所以我们可以将这个目标都扩大两倍，同时将这个西瓜重量也扩大两倍，这样就不用除以2

# 对于每个西瓜，可以选择切与不切
n, m = map(int, input().split())
m = m<<1 
num = list(map(int, input().split()))
a = [i*2 for i in num]
ans = n+1
# 当前的瓜的下标，当前切的刀数，当前的重量
def dfs(i, k, cursum):global ansif cursum == m:ans = min(ans, k)if i == n:return# 不选dfs(i + 1, k, cursum)# 选择，如果当前的cursum 没有超过这个mif cursum + num[i] > m:return# 选择一整个西瓜dfs(i + 1, k, cursum + a[i])# 选择半个西瓜dfs(i + 1, k + 1, cursum + num[i])
dfs(0,0,0)
print(ans if ans != n+1 else -1)

• 思考：剪枝不够充分，目前的剪枝是有对结束状态的判断，那么还有什么情况可以考虑？
  • 考虑及时加上全部的西瓜仍然<m,这个时候就没有必要递归下去了，直接结束(难道我们每次都得使用这个sum函数进行求解吗？当然不是，我们可以使用前缀和进行求解，但是为了方便起见，得将原始的数组和前缀和数组进行转置)
  • 如果当前的重量已经超过了这个 m就没有必要继续递归下去了

# 总的来说，m,n是输入
n,m = map(int,input().split())
m = m << 1
num = list(map(int,input().split()))
num.sort()
a = [i<<1 for i in num]
pre = [0]*n
pre[0] = a[0]
for i in range(1,n):pre[i] = pre[i-1] + a[i]
a = a[::-1]
pre = pre[::-1]
ans = n+1
def dfs(i,k,cursum):global ansif cursum == m :ans = min(ans,k)# if k >= ans:#     returnif i == n or cursum >= m or cursum + pre[i] < m:returndfs(i+1,k,cursum )dfs(i+1,k+1,cursum + a[i] // 2)dfs(i+1,k,cursum + a[i])dfs(0,0,0)
print(ans if ans != n+1 else -1)

最大数字

最大数字

• 错误的递归思路：每次只要么处理一位操作1要么处理操作2，这样的处理思路是有问题的，你要么在位数i的时候，直接用完对应的操作1或者操作2，使其变为9,如果不能变为9，那么就尽可能大(操作2是有可能剩余的，但是操作1是不可能剩余的)
• 包含一点贪心的思路

import os
import sys# 请在此输入您的代码# 肯定是按照这个数位进行操作的
N,A,B = map(int,input().split())
N = list(str(N))
n = len(N)
# 需要记录什么？操作1的次数，操作2的次数，当前操作的是哪一位？
ans = 0
def dfs(i,n1,n2,curnum):global ansif i == n:ans = max(ans,curnum)return # 先进行加法，看看能不能将该位变为9num = int(N[i])ad = min(n1,9-num)n1 -= ad dfs(i+1,n1,n2,curnum*10 + num + ad)n1 += ad # 进行减法if n2 > num:n2 = n2 - (num + 1)dfs(i+1,n1,n2,curnum*10 + 9)n2 = n2 + (num + 1)
dfs(0,A,B,0)
print(ans)