数字电路逻辑代数 | 运算 / 定律 / 公式 / 规则 / 例解

注：本文为 “ 数字电路逻辑代数” 相关文章合辑。

未整理去重，如有内容异常，请看原文。

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逻辑代数的逻辑运算、基本定律、常用公式、基本规则

bhlu 已于 2024-12-11 10:30:30 修改

1. 逻辑运算：

常见逻辑运算规则，如与（AND）、或（OR）、非（NOT）运算的基本定义：

与运算：当且仅当两个输入都为 1 时，输出为 1；否则输出为 0，用符号 “・” 表示，例如 $A・B$。

或运算：只要有一个输入为 1，输出就为 1；只有两个输入都为 0 时，输出才为 0，用符号 “+” 表示，例如 $A+B$。

非运算：将输入取反，输入为 0 时输出为 1，输入为 1 时输出为 0，用符号 “$\overline{}$” 表示，例如 $\overline{A}$。

2. 基本定律

2.1 常量间的运算

• 与运算基本定律：
  $0\cdot 0=0$
  $0\cdot 1=0$
  $1\cdot 0=0$
  $1\cdot 1=1$
• 或运算基本定律：
  $0+0=0$
  $0+1=1$
  $1+0=1$
  $1+1=1$
• 非运算基本定律：
  $\overline{0}=1$
  $\overline{1}=0$
• 变量和常量运算定律：
  $0+A=A$
  $1+A=1$
  $0\cdot A=0$
  $1\cdot A=A$
  $A+A=A$
  $A\cdot A=A$
  $A+\overline{A}=1$
  $A\cdot \overline{A}=0$
  $\overline{\overline{A}}=A$

2.2 逻辑变量和常量的运算

• 0 - 1 律：
  $0+A=A$
  $1+A=1$
  $0\cdot A=0$
  $1\cdot A=A$
• 同一律：
  $A+A=A$
  $A\cdot A=A$
• 还原律：$\overline{\overline{A}}=A$

2.3 与普通代数相似的定律

• 交换律：
  $A+B=B+A$
  $A\cdot B=B\cdot A$
• 结合律：
  $(A+B)+C=A+(B+C)$
  $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$
• 分配律：
  $A(B+C)=AB+AC$
  $A+BC=(A+B)(A+C)$，证明过程如下：
  $$\begin{array}{rl}(A+B)(A+C)& =AA+AC+BA+BC\\ & =A+AC+BA+BC\\ & =A(1+C+B)+BC\\ & =A+BC\end{array}$$

2.4 摩尔定理（反演律）：

$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$
$\overline{A\cdot B\cdot C\cdots }=\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\cdots$

2.5 吸收律：

$AB+A\overline{B}=A(B+\overline{B})=A$
$A+AB=A(1+B)=A$
$A+\overline{A}B=(A+\overline{A})(A+B)=A+B$
推广公式：$\overline{A}+AB=\overline{A}+B$

2.6 冗余律：

$AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C$，推导过程如下：

$$\begin{array}{rl}AB+\overline{A}C+BC& =AB+\overline{A}C+BC(A+\overline{A})\\ & =AB+\overline{A}C+ABC+\overline{A}BC\\ & =AB(1+C+\overline{C})+\overline{A}C\\ & =AB+\overline{A}C\end{array}$$
推广公式：$AB+\overline{A}C+BCD\cdots =AB+\overline{A}C$

3. 常用公式

$\overline{A\overline{B}+\overline{A}B}=\overline{A}\cdot \overline{B}+AB$，推导过程如下：
$$\begin{array}{rl}\overline{A\overline{B}+\overline{A}B}& =\overline{A\overline{B}}\cdot \overline{\overline{A}B}\\ & =(\overline{A}+B)(A+\overline{B})\\ & =\overline{A}A+\overline{A}\cdot \overline{B}+BA+B\overline{B}\\ & =\overline{A}\cdot \overline{B}+BA\end{array}$$
实质：$\overline{A\overline{B}+\overline{A}B}=\overline{A\oplus B}=A\odot B=\overline{A}\cdot \overline{B}+AB$

推广公式：如果前面有原变量 $A$，后面有变量 $\overline{A}$，那就可以将剩余的变量取反，例如 $\overline{AB+\overline{A}C}=A\overline{B}+\overline{A}\cdot \overline{C}$

• 异或运算的一些公式：
  交换律：$A\oplus B=B\oplus A$
  结合律：$(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$
  分配律：$A\cdot (B\oplus C)=AB\oplus AC$
  变量和常量的异或运算：
  $A\oplus 1=\overline{A}$，
  $A\oplus 0=A$，
  $A\oplus A=0$
  因果互换律：若 $A\oplus B=C$，则$\{\begin{array}{l}A\oplus C=B\\ B\oplus C=A\end{array}$

4. 基本规则

4.1 代入规则：

例如 $A+\overline{A}B=A+B$，

若 $A$ 均用 $\overline{A}$ 代替得到 $\overline{A}+AB$，再用吸收律得到 $\overline{A}+B$；
若 $B$ 均用 $C$ 代替得到 $A+\overline{A}C$，再用吸收律得到 $A+C$。

又如 $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$，
若 $B$ 均用 $B+C$ 代替得到 $\overline{A+(B+C)}=\overline{A}\cdot \overline{B+C}$，再使用摩尔定理得到 $\overline{A+(B+C)}=\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}$。

4.2 反演规则：

对任意一个逻辑函数式 $Y$，将式中所有“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 $\overline{Y}$。

• 变换时需注意：

  • 不能改变原来的运算顺序；

  • 原变量换成反变量，反变量换成原变量，只针对单个变量有效，而对长非号保持不变。

  示例：

  若 $Y=A\cdot \overline{B+C}+CD$，则 $\overline{Y}=(\overline{A}+\overline{\overline{B}\cdot \overline{C}})\cdot (\overline{C}+\overline{D})$

  若 $Y=\overline{\overline{AB}+C}+D+E$，则 $\overline{Y}=\overline{(\overline{A}+B)\cdot \overline{C}\cdot \overline{D}}\cdot \overline{E}$

4.3 对偶规则：

对任意一个逻辑函数式 $Y$，将式中所有“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数的对偶函数 $Y^{\prime }$。

• 交换时需注意：

  • 不能改变原来的运算顺序；

  • 变量上的非号均不变。

  示例：

  $0\cdot 0=0$ 对偶式为 $1+1=1$

  $A+\overline{A}=1$ 对偶式为 $A\cdot \overline{A}=0$

  $A(B+C)=AB+AC$ 对偶式为 $A+BC=(A+B)(A+C)$

  若 $Y=\overline{\overline{AB}+C}+D+E$，则 $Y^{\prime }=\overline{\overline{(A+\overline{B})\cdot C}\cdot D}\cdot E$

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数字电路基础知识 —— 数字逻辑代数（逻辑代数基本定理及常用公式，最大项、 最小项，公式法、 卡洛图法及 Q - M 法化简逻辑函数）

摆渡沧桑 于 2019 - 09 - 05 16:51:15 发布

数字电路基础知识 —— 数字逻辑代数（逻辑代数公式、 卡洛图的运用、 Q - M 法化简（列表法））

本节主要介绍逻辑代数的公式及逻辑函数的化简，包括公式法化简、 卡洛图化简、 Q - M 列表法化简。重点需要掌握前两种方法，第三种可以了解，能够帮助深入理解 逻辑相邻项。

一、逻辑代数的三个基本运算

逻辑代数中最基本的三个运算 ： 与、 或、 非 。

基本的函数关系如下 ：

二、逻辑代数的基本定律

1. 基本公式

比较重要的是后面三个定律 ：

1. 反演律（德摩根律）

   使用此定律可以将 乘积项 或 和项 打开。
   具体规则是 × 变 +， + 变 × ； 原变量变反变量，反变量变原变量。

2. 吸收律

   重点掌握以下公式 ：

   $A+A^{\prime }B=A+B$
   $A+AB=A$
   $A(A+B)=A$

   推导过程 ：

   $A+A^{\prime }B=A+AB+A^{\prime }B=A+B(A+A^{\prime })=A+B$

3. 冗余律

   $AB+A^{\prime }C+BC=AB+A^{\prime }C$

   推导过程 ：

   $AB+A^{\prime }C+BC=AB+A^{\prime }C+(A+A^{\prime })BC=AB+A^{\prime }C+ABC+A^{\prime }BC=AB(1+C)+A^{\prime }C(1+B)=AB+A^{\prime }C$

2. 基本定理

1. 代入定理
   任何一个逻辑式代入原来式中所有相同的变量位置，等式仍然成立。

2. 反演定理

3. 对偶定理

   若两逻辑等式相等，则它们的对偶式也相等。

   在某些情况下，证明某式成立时，可以通过对偶定理证明其对偶式成立来简化证明。例如 ：

   若 $Y=A(B+C)$，则 $Y_D=A+BC$

   若 $Y=(AB+CD{)}^{\prime }$，则 $Y_D=((A+B)(C+D){)}^{\prime }$

   若 $Y=AB+(C+D{)}^{\prime }$，则 $Y_D=(A+B)(CD{)}^{\prime }$

三、逻辑函数的两种标准式

1. 最小项

$n$ 个变量的 最小项 是含 $n$ 个变量的 与项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。通常用 $m_i$ 表示各项。

例如，对于下面的逻辑表达式 ：

2. 最大项

$n$ 个变量的 最大项 是含 $n$ 个变量的 或项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。通常用 $M_i$ 表示各项。

3. 最大项和最小项的性质

• $n$ 变量的全部最小项之和恒为 $1$，全部最大项之积恒为 $0$。

• 任意两个最小项之积恒为 $0$，任意两个最大项之和恒为 $1$。

• $n$ 变量的每一个最小项或最大项有 $n$ 个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称 逻辑相邻项）。

四、逻辑函数的卡洛图化简

公式法化简逻辑函数其实就是用上面的公式来化简。主要介绍一下卡洛图化简。

1. 相邻项

首先需要了解 相邻项 的概念，即两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称 逻辑相邻项。

2. 卡洛图

把任意两个逻辑上相邻的最小项变为几何中的相邻，做到逻辑相邻和几何相邻。
2 变量卡洛图 ： 由代表四个最小项的四个方格组成 ：

三变量卡洛图由 $8$ 个最小项组成， 需要注意的是最小项编码和格雷码的编码类似，即相邻位置或者首尾是逻辑相邻：

四变量如下（一般卡洛图的化简至多四 - 五个变量） ：

3. 逻辑函数在卡洛图的表示

例如 ：

4. 卡洛图最小项合并规则

• 任何两个为一的相邻最小项可以合并为一项，并消去一个变量（消去的是互为反变量的因子，保留公因子） ：

• 任何四个为一的相邻最小项（可以是循环相邻）可以合并为一项，并消去两个变量 ：

5. 图形法化简的基本步骤

1. 将函数化为最小项之和的形式，然后做函数的卡洛图，确定卡洛图方格矩阵。

2. 画卡洛圈（要遵循卡洛圈最少、 最大的原则）。

3. 写逻辑表达式（相同变量留下，不同变量去掉）。

五、Q - M 法化简逻辑函数（奎恩 - 麦克拉斯基），也叫列表化简法

卡洛图法化简虽然比较直观、简单，但当逻辑变量大于五个之后，会变得很困难。而公式法化简虽然不受变量数量的影响，但化简过程并没有固定、通用的步骤，也很难借助计算机辅助进行化简。因此，本节介绍 Q - M 法化简，本质上也是通过相邻最小项消去多余因子，来求逻辑函数的最简形式。

例如，对于以下函数表达式 ：

1. $Y=\sum m(0,3,4,5,6,7,8,10,11)$

2. 将其按照一个个数一次排列分组 ：
   

3. 合并相邻的最小项

将上表中每一组的每一个最小项与相邻组所有的最小项逐一比较，若仅有一个因子不同，则可以合并，并消去不同的因子。例如，$m_0$ 和 $m_4$ 仅有一位不一样，所以这一位可以合并为 0 - 00，同时将上表中可以合并的用“对号”表示，不能合并的用 $P_i$ 表示。

按照同样的方法，可以再次合并下面左边的一列，可以合并的用“对号”表示，不能合并的用 $P_i$ 表示。

经过以上合并，留下了没有合并过的最小项 $P_i$，因此可以表示为 ：
$Y=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6+P_7$

需要注意的是，上面的表达式并不一定是最简结果。将所有 $P_i$ 列成如下表格 ：

上表格中的 $m_5$、 $m_6$、 $m_8$ 都是只在 $P_i$ 中只出现了一次，所以最小项一定包含 $P_1$ 和 $P_4$。选取这两项之后，已经包含了 $m_4$、 $m_5$、 $m_6$、 $m_7$、 $m_8$、 $m_{10}$ 这六个，除去之后剩下的 $m_0$、 $m_3$、 $m_{11}$ 如下表所示 ：

$m_i$	$0$	$3$	$11$
$P_2$	×
$P_3$	×
$P_5$		×
$P_6$		×	×
$P_7$			×

现在化简上面的结果。因为 $P_2$ 和 $P_3$ 都有 $m_0$，因此可以取任意一项作为最简项。对于 $P_5$、 $P_6$、 $P_7$，由于 $P_5$ 和 $P_7$ 行的所有项均包含在 $P_6$ 中，因此 $P_6$ 包含了 $P_5$、 $P_7$ 的所有最小项，故将 $P_5$、 $P_7$ 删掉。因此最终的结果是 ：

$Y=P_1+P_4+P_3+P_6$

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数电笔记（逻辑代数）

无一 _zhihu

注：本文部分图片重截，图中公式已文本化。

一些常用公式和定律

基本定律：0,1 律；互补律；重叠律；交换律；结合律；分配律；反演律（摩根定律）；吸收律；其他常用恒等式。

2A 不用管

分配律的验证

证明 $A+BC=(A+B)(A+C)$

证明：
$$\begin{array}{rl}(A+B)(A+C)& =A\cdot A+A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C\\ & =A\cdot (1+B+C)+B\cdot C\\ & =A+BC\end{array}$$

吸收律验证

证明 $A+\overline{A}\cdot B=A+B$

证明：

$$\begin{array}{rl}已知A+A\cdot B& =A\\ A+A\cdot B+\overline{A}\cdot B& =A+B(A+\overline{A})\\ & =A+B\end{array}$$

恒等式验证

证明 $AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C$

证明：
$$\begin{array}{rl}AB+\overline{A}C+BC\cdot 1& =AB+\overline{A}C+BC(A+\overline{A})\\ & =AB+\overline{A}C+ABC+\overline{A}BC\\ & =AB(1+C)+\overline{A}C(1+B)\\ & =AB+\overline{A}C\end{array}$$

第二个恒等式与该方法相同

逻辑代数的基本规则

代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果用一个函数代替等式两边出现的某变量 A，则等式依然成立。

反演规则：求 非函数 时：与或互换，原变量换为非变量，并将 1 与 0 互换，所得的就是非函数。（保持原来的运算顺序，先与后或，可以用括号；非变量以外的非不变）

对偶规则：求 对偶式 时，与或互换，0，1 互换（保持顺序与反演一样）。

逻辑函数表达形式

• 与或：若干与项进行或逻辑

  $L=A\cdot C+\overline{C}\cdot D$

• 或与：若干或项进行与逻辑

  $L=\left(A+C\right)\cdot \left(B+\overline{C}\right)\cdot D$

最小项：一个乘积项包含了全部的变量（每个变量及其非都只出现一次）。最小项中 0 为非，1 为原。

性质：每一组最小项，都只有一组取值为 1，其余全为 0（全部最小项积为 0，和为 1）。

最小项表达式（标准与或表达式）：最小项进行或逻辑运算。

最大项：一个或项包含了全部的变量（每个变量及其非都只出现一次），最大项中 0 为原，1 为非。

性质：任意一个最大项，只有一组取值为 0。所有最大项和为 1，积为 0。

最大项表达式（标准或与表达式）：最大项的乘积。下标相同的最大项和最小项互补。

逻辑函数的形式：与或，与非 - 与非，或与，或非 - 或非，与或非

逻辑函数的化简（化简的原因：实现函数只需要一种规格的逻辑门，给电路设计带来方便）：在若干逻辑关系相同的与或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为是最简与或表达式。

逻辑函数的代数化简方法：

• 并项法：
  

• 吸收法：
  

• 消去法：
  

• 德摩根定律化简（A 非或 B 非）

• 配项法：
  

逻辑函数形式的变换：通常化简为与或表达式再转换形式。

卡诺图化简法

• 卡诺图定义：此函数的最小项表达式中的各最小项相应的填入一个特定的方格内，此方格为卡诺图（一般用于 3，4 个变量的逻辑函数化简，原因是卡诺图的个数为 2 的 n 次方，太多不方便）(最简式为与或形式的为最小项，为或与形式的为最大项)。

• 卡诺图的特点：几何位置相邻的最小项在逻辑上也是相邻的（只有一位变量不同，类似格雷码，画图的时候可以根据格雷码最小位镜像对称的特点标号），具有上下左右封闭性（即最左边和最右边，最上边和最下边，四个角都是相邻的）。

• 卡诺图画法：当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图对应最小项的方格中填入 1，其余方格用 0 或者空格表达。
  

• 化简依据：代数化简验证（化简时，不变的变量留下，变化的变量去除）。

• 化简方法（一次只能圈 2 的次方个，可以两次圈同一个，但必须要有新的）：

  1. 写出最小项表达式。
  2. 画出卡诺图。
  3. 将无相邻的项单独圈出来。
  4. 将只有一种圈法的圈起来。
  5. 将剩余的圈出来（尽可能的圈大，圈出来的数多）。
  6. 

无关项：取值无法取到的项为无关项，例如用 8421BCD 码表示 0—9，则剩下的就为无关项。

化简：无关项可以取 0 或者 1，视情况定，原则上是怎样化简简单怎么取。

编辑于 2022-05-19 10:29

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via:

• 逻辑运算律公式大全 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/m0_57104353/article/details/124774678

• 逻辑代数的逻辑运算、基本定律、常用公式、基本规则_逻辑运算律公式大全 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/lubuhan/article/details/144393066

• 逻辑代数的规律规则（公式集）-CSDN博客-)-
  https://blog.csdn.net/hiworld2014/article/details/135165045

• 数字电路基础知识 —— 数字逻辑代数 (逻辑代数基本定理及常用公式，最大项、最小项，公式法、卡洛图法及 Q-M 法化简（列表法）化简逻辑函数)_数电逻辑运算公式 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/vivid117/article/details/100547649

• 数电笔记（逻辑代数） - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/473625059