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高等数学学习笔记 ☞ 不定积分与积分公式

news 2025/1/14 20:32:38

1. 不定积分的定义

1. 原函数与导函数的定义：

若函数 $F(x)$ 可导，且 ${F}'(x)=f(x)$ ，则称函数 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，函数 $f(x)$ 是函数 $F(x)$ 的导函数。

备注：

①：若函数 $f(x)$ 是连续的，则函数 $f(x)$ 一定存在原函数 $F(x)$ ，反之不对。

②：因为 ${(F(x)+C)}'=f(x)$ ，所以说函数 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数。

③：根据定义，假设 $f(x)$ 的原函数分别为 $\phi (x)$ ， $\psi (x)$ ，则有 ${\phi}' (x)=f(x)$ ， ${\psi}' (x)=f(x)$ ，

根据 ${(\phi (x)-\psi (x))}'={\phi}' (x)-{\psi}' (x)=f(x)-f(x)=0$ ，可得 $\psi (x)-\phi (x)=C$ ( $C$ 为常数)。

说明函数 $f(x)$ 的原函数之间的关系仅仅是差一个常数而已。

2. 不定积分的定义：把函数 $f(x)$ 的所有原函数 $F(x)+C$ ，称为函数 $f(x)$ 的不定积分。记作： $\int f(x)dx=F(x)+C$ 。

其中： $\int$ ：积分符号； $f(x)$ ：被积函数，表示对哪个函数求积分； $x$ ：积分变量，表示对哪个变量求积分；

$f(x)dx$ ：被积式； $C$ ：积分常量。

备注：

①：求函数 $f(x)$ 的不定积分，就是求函数 $f(x)$ 的所有原函数。由定义可知，只需要求出函数 $f(x)$ 的一个原函数，再加上

任意常数 $C$ ，就可以得到函数 $f(x)$ 的不定积分。

②：求函数 $f(x)$ 的原函数，那就看哪个函数求导是 $f(x)$ 。

3. 不定积分的基础公式：

①： $\frac{d}{dx}(\int f(x)dx)=f(x)$ ②： $d[\int f(x)dx]=f(x)dx$

③： $\int {F}'(x)dx=F(x)+C$ ④： $\int dF(x)=F(x)+C$

2. 不定积分的性质

（1） $\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

（2） $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ （ $k$ 是与积分变量 $x$ 无关的）

3. 不定积分的积分公式

（1） $\int kdx=kx+C$ （ $k$ 是与积分变量 $x$ 无关的）（2） $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \neq -1)$

（3） $\int \frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$

（4） $\int \frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan x +C$ （5） $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\arcsin x +C$

（6） $\int \cos xdx=\sin x +C$ （7） $\int \sin xdx=-\cos x +C$

（8） $\int \frac{1}{\cos^{2} x}dx=\int \sec^{2}xdx=\tan x+C$ （9） $\int \frac{1}{\sin^{2} x}dx=\int \csc^{2}xdx=-\cot x+C$

（10） $\int \sec x\: \tan xdx=\sec x+C$ （11） $\int \csc x\: \cot xdx=-\csc x+C$

（12） $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ （13） $\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a>0,a\neq 1)$

小贴士：常用的三角函数公式：

（1） $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha\cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

（2） $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha\cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

（3） $\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos\alpha$

（4） $\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha=2\cos^{2} \alpha-1=1-2\sin^{2} \alpha$

（5） $\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2} \alpha}$