高中数学部分基础知识

高中知识体系丰富，虽然毕业后再也没用过，但是很多数学逻辑还是非常经典的，能够启发我们如何制作逻辑工具去解决现实问题。以下做出部分归纳，后续再添加；

一、集合

• 单个叫元素，多个元素的整体叫集合，元素和集合之间有：属于关系、不属于关系；集合可以列举或者函数描述
• 集合之间有子集、真子集（与子集意义区别不大，只是集合A不能等于集合B）、空集（是任何集合的子集）
• 命题条件，p=>q,p对于q称为充分条件，q对于p称为必要条件；p<=>q，可以相互逆推导，pq称为充要条件
• 判断量词，∀表示任意一个都满足（类似于every），∃表示存在一个满足条件（类似于some），¬表示命题否定

二、一元二次方程

• 比较方程式值a\b的大小，直接相减（a-b），结果可以反应a和b的大小，结果>0则a>b；当然也有相除或者其他转化的比较做法
• 基本不等式，来源于平方差公式：$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2>=0$ 则 $a^2+b^2>=2ab$；如果a、b同时大于0（条件有些苛刻）则 $\frac{a+b}{2}>=\sqrt[2]{ab}$, $\frac{a+b}{2}$称为算数平均数，$\sqrt[2]{ab}$称为几何平均数（没什么印象）
• 一元二次方程，∆值的推导如下图；二次项和一次项，再凑一部分常量值，组合成平方和放到左侧，右侧放常量的化简式子；$\Delta =b^2-4ac$,∆>0则两个解（因为是平方和），∆=0则一个解，$x=-\frac{b}{2a}$；∆<0则无解（违反了平方和大于等于0）；注意$x_0=-\frac{b}{2a}$是函数图像的对称线，此时取到最大值或者最小值（a>0，该点y值为最小值）极值为：$\frac{4ac-b^2}{4a}$（把$x_0$带入计算就可以得到）
• 一元二次不等式，一般左侧为方程式，右侧为0，解集根据a值的正负性、∆值、图像跟x轴的焦点，共同确定解集（集合）

三、函数

• $y=f(x),xϵA$；对于任意一个x都有唯一的y值对应，则称为集合A到B的函数，定义域为A，值域看实际情况
• 集合的区间，$a<x<b$成为开区间$(a,b)$，$a<=x<=b$称为闭区间$[a,b]$，$a<=x<b$称为半开半闭区间$[a,b)$，a\b称为端点；当然区间也包括$+\infty$和$-\infty$（当然$-\infty$只能写在区间左侧$(-\infty ,b)$，另一个同理）
• 分段函数，对于现实中复杂问题，往往用分段函数表示；$y=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ 1& x=0\\ x^2+1& x>0\end{array}$

• 函数性质，单调性用来表示在一段区间中函数值的递增或递减趋向，这样只要$x_1,x_2$在区间内，就可以判断$f(x_1)，f(x_2)$的大小；证明单调性时，使用$f(x_1)-f(x_2)$通过代数式化简后的结果的正负来判断大小；一般递增函数意味着存在一个最小值（区间左侧端点；最大值也同理）
• 偶函数，$f(x)=f(-x)$，函数图像关于y轴对称
• 奇函数，$f(x)=-f(-x)$，函数图像关于原点$O(0,0)$对称
• 幂函数，$y=x^a$，a为常量，x为自变量
• 零点，$f(x)=0$的解被称为零点，对于一元二次方程可以用∆和求根公式去解；对于其他不规则函数，可以尝试判断连续性和单调性，在区间$[a,b]$上$f(x)$连续，并且$f(a)f(b)<0$，那么意味着在$[a,b]$之间存在一点c使得$f(c)=0$，c就是$f(x)$的零点

四、指数函数

• 指数函数，$x^n=a$，x是a的根，n是根指数，a是被开方数，$x=\sqrt[n]{a}$, 所以$\sqrt[n]{a}$被称为根式
• 分数指数幂，人为规定表示$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$，那么$\sqrt[n]{a^m}=(a^{\frac{1}{n}}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$；这里a一般适用于正数，否则根号里可能出现负值；对于导数来说，$\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=a^{-\frac{m}{n}}$，表示根的导数，在该根的分数指数幂次数添加负号
• 指数函数图像，一般考虑0<a<1或者a>1；注意关键坐标点：$(0,1),(1,a)$

五、对数函数

• 对数函数，$x={\log }_{a}N$，x称为对数，a为底数，N为真数；常用对数，10为底用$x={\lg }_{a}N$，自然数e为底$x={\ln }_{a}N$（e大概是2.718，来源于复利收益的极限）
• a同样是被规定a>0，这样N就是正数，那么对数也是正数，关键坐标点${\log }_{a}1=0，{\log }_{a}a=1$
• 运算规则，${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$，${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$，$n{\log }_{a}M={\log }_a{M}^n$
• 换底公式，$x={\log }_{a}N，=>a^x=N=>{\log }_c{a}^x={\log }_{c}N；x{\log }_{c}a={\log }_{c}N=>x=\frac{{\log }_{c}N}{{\log }_{c}a}=>{\log }_{a}N=\frac{{\log }_{c}N}{{\log }_{c}a}$（acN都大于0）
• 反函数，$x={\log }_{a}N$和$N=a^x$互为反函数，定义域和值域互反，底数相同

六、三角函数

1、角度和弧度

• 从圆心O出发，顺时针旋转是负角，逆时针旋转是正角，没有旋转则是零角；若α为任意角，任意与α终边相同的角集合可以表示为： S = { β ∣ β = α + k ∗ 36 0 ∘ , k ϵ z } S=\{β|β=α+k*360^\circ,k\epsilon z\} S={β∣β=α+k∗360∘,kϵz}；一度的角等于周角的$\frac{1}{360}$
• 弧度；π的出现，解决了圆周长、面积的计算，周长公式$l=2\pi \ast r$；人为规定，周长长度为r的一段弧长对应的弧度是1弧度（1rad），那么圆周总弧长就是2π（凑整了，方便计算）；如果弧长为l、半径为r，可以得到对应的弧度为$\alpha =\frac{l}{r}(rad)$；遇到弧度，注意有没有弧长这个条件，弧度来源于弧长；
• 角度和弧度计算，$360^{\circ }=2\pi (rad)$, 那么$1^{\circ }=\frac{1}{180}\pi (rad)\approx 0.017(rad)$, 同理$1(rad)=\frac{180}{\pi }\approx 57.3^{\circ }$
• 扇形，$l=\alpha \ast r$（来源于定义），$l=2\pi r\ast \frac{n}{360}=\frac{n\pi r}{180}\Rightarrow \alpha =\frac{n\pi }{180}\Rightarrow \alpha \ast \frac{r^2}{2}=\frac{n\pi r^2}{360}=S$，$\because \alpha =\frac{l}{r}\therefore S=\frac{lr}{2}$；这样扇形面积可以用弧度表示：$S_{扇}=\frac{\alpha r^2}{2}，S_{扇}=\frac{lr}{2}$
• 常见弧度，$\frac{1}{6}\pi =30^{\circ }，\frac{1}{3}\pi =60^{\circ }，\frac{1}{4}\pi =45^{\circ }，\frac{1}{2}\pi =90^{\circ }，\frac{2}{3}\pi =120^{\circ }，\frac{3}{4}\pi =135^{\circ }，\pi =180^{\circ }，$

2、三角函数

• 在xy直角坐标轴中以原点为圆心O、半径为1画圆，从圆心O逆时针方向发出射线、弧度为α，与圆交于点(x,y)，那么：$x=\cos \alpha ，y=\sin \alpha ，\frac{y}{x}=\tan \alpha (x\ne 0)$，可以得到三个函数：$y=\cos x，y=\sin x，y=\tan x$，这样根据弧度，确定坐标点，再根据坐标点计算出函数值
• 终边相同，三个函数都可以表示为$\sin x=\sin (x+k\ast 2\pi ),kϵz$
• 正弦和余弦，对于半径为r的圆，$(r\ast \sin \alpha {)}^2+(r\ast \cos \alpha {)}^2=r^2\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$; $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha (\alpha \ne \frac{\pi }{2})$
• 诱导公式1，任意一个角α，旋转π弧度（一般认为是逆时针旋转，比较容易理解），那么两个射线形成一条直线，图形会沿着原点对称，那么有如下推导，最终目的是将一个大角化简成一个小角（最好是锐角），便于计算（一般默认小角的三角函数值已知，如$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$）$$\sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha ,\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha ,\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha$$
• 诱导公式2，任意一个角α，画出它的负角-α，两条射线形成的图形沿着x轴对称，那么有如下推导，意味着余弦函数值不变，其余变负，$$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$$
• 诱导公式3，任意一个角α，画出它被π减去的余角π-α，两条射线形成的图形沿着y轴对称，那么有如下推导，意味着正弦函数值不变，其余变负$$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$$
• 诱导公式4，任意一个角α，画出它被$\frac{\pi }{2}$减去的余角$\frac{\pi }{2}-\alpha$，两条射线形成的图形沿着y=x对称，意味着正弦和余弦函数值互换，同时因为角α和余角$\frac{\pi }{2}-\alpha$处于同一象限，负号不用变化$$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha ,\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha ,\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\frac{1}{\tan \alpha }$$
• 诱导公式5，任意一个角α，画出增加$\frac{\pi }{2}$（逆时针旋转$\frac{\pi }{2}$）后的射线，两条射线正弦和余弦函数值互换，同时因为第二条射线会进位一个象限，而下一个象限的正弦值总是和前一个象限的余弦值符号相同，而下一个新角的正弦值会变符号。$$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha ,\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha ,\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=-\frac{1}{\tan \alpha }$$
• 三角函数图像，一根射线从原点出发，逆时针均匀转动形成角α，对应的正弦值为y，将角α、y对应在x、y坐标轴上，可以形成正弦曲线（其实是由无数点组成的曲线），余弦曲线同理；最小正周期为2π（周期为2kπ），可以记成$y=\sin (x)$；正弦函数是奇函数（原点对称），余弦函数是偶函数（y轴对称）；
• 三角函数单调区间，正弦函数递增区间为$[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$,单调递减区间为$[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ]$；余弦函数递增区间为$[-\pi +2k\pi ,0+2k\pi ]$,单调递减区间为$[0+2k\pi ,\pi +2k\pi ]$；注意默认情况下一个递增或递减区间长度是π，两个区间合起来是2π；
• 正切函数，奇函数，周期为π，递增区间为$(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$（这里是开区间），没有递减区间，函数值域没有最大值最小值，横坐标不能取值$\frac{\pi }{2}+k\pi$
• 函数$y=A\sin (\omega x+\phi )$，意味着在$y=\sin (x)$基础上，先左移φ，再横向压缩ω倍（如果ω大于1），最后纵向拉伸A倍（如果A大于1），最小正周期为$T=\frac{2\pi }{\omega }$（因为原基础的ω默认是1，原周期也是2π），注意频率$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$; φ大于0就左移，φ小于0就右移；ω绝对值大于1就是横向压缩，ω绝对值小于1就是横向拉伸；A绝对值大于1就是纵向拉伸，A绝对值小于1就是横向压缩；
• 和差角公式，设角α、角β夹角为角α-β，逆时针从原点$R(1,0)$出发画出角α-β，三个角射线交半径为1的同心圆，交点坐标位置为$A(\cos \alpha ,\sin \alpha ),B(\cos \beta ,\sin \beta ),C(\cos \alpha -\beta ,\sin \alpha -\beta )$，弧度相同则弧长相同，则弧长两端点距离相等，于是两点距离公式：线段CR=线段AB$$(\cos (\alpha -\beta )-1{)}^2+(\sin (\alpha -\beta )-0{)}^2=(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2$$ $$\Rightarrow 2-2\cos (\alpha -\beta )=2-2\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$ $$\Rightarrow \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$
• 和差角公式其余推导，$$\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$ $$\sin (\alpha +\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta ))=\cos ((\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin (\alpha -\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-(\alpha -\beta ))=\cos ((\frac{\pi }{2}-\alpha )+\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$
• 诱导公式、和差角公式的区别，和差角公式基于代数计算和图形证明，可以很容易推导出诱导公式; 诱导公式根据图像特点归纳结论，相当于快速、特殊条件的和差角公式，可以帮助简化计算，比如$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$可以用和差角公式慢慢计算，但是直接用诱导公式4，正弦余弦互换、符号不变，快速得出结论$\sin \alpha$; 注意α+β中间是+号就是合角公式（一共三个），差角同理
• 正切公式，来源于和差角公式, $\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$上下同除以$\cos \alpha \cos \beta$ $$\tan \alpha +\beta =\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta },\tan \alpha -\beta =\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$
• 倍角公式，依然来源于和差角公式的推导，$$\sin 2\alpha =\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$ $$\cos 2\alpha =\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \Rightarrow 2{\cos }^2\alpha -1\Rightarrow 1-2{\sin }^2\alpha$$ $$\tan 2\alpha =\tan (\alpha +\alpha )=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha },上下同除以{\cos }^2\alpha \Rightarrow \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$
• 三角恒等变换，依然来源于和差角公式的推导（左边式子化简就可以得到），注意这里是两个sin或者两个cos相加或相减，没有sin和cos一起计算，并且对于两个弧度值有特殊要求才可以使用（α+β和α-β）。公式也可以反过来（只是借用结论），但是推导只能从和差角公式开始推导；反向公式不列举了，公式反转除以2、负号； $$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta ,\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta ,\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=-2\cos \alpha \cos \beta$$
• 三角恒等变换两个任意角同弦函数值，可以得到两个弦值相乘的推导，依然来源于和差角公式的推导 $$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin (\frac{\alpha +\beta }{2})\cos (\frac{\alpha -\beta }{2})$$

诱导公式5进位一个象限后余弦值对应的总是两个同符号的值

递增区间

正切函数