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2007年IMO几何预选题第8题

news 2025/1/7 10:41:29

$P$ 是凸四边形 $A BC D$ 的边 $A B$ 上的一点, $\omega$ 是 $\triangle CPD$ 的内切圆, $I$ 为其圆心, 若 $\omega$ 分别与 $\triangle APD$ 和 $\triangle BPC$ 的内切圆切于点 $K$ 和 $L$ , $A C$ , $B D$ 交于 $E$ , $A K$ , $B L$ 交于 $F$ . 求证: $E$ , $I$ , $F$ 三点共线.

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证明:

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设 $\triangle APD$ , $\triangle BPC$ , $\triangle PCD$ 的内切圆分别为 $c_1$ , $c_2$ , $c_3$ .

易知 $A P + C D = A D + CP$ , 进而四边形 $A PC D$ 有内切圆.

易知 $BP + C D = BC + P D$ , 进而四边形 $BP D C$ 有内切圆.

设 $A PC D$ 的内切圆为 $\omega_1$ , 由蒙日定理可知, $\omega_1$ , $c_1$ 的外位似中心 ( $A$ ), $\omega_1$ , $c_3$ 的外位似中心 ( $D$ ), $c_3$ , $c_1$ 的外位似中心 (记为 $X$ ) 共线.

设直线 $A D$ , $BC$ 交于点 $Q$ . 设 $\triangle ABQ$ 的内切圆为 $\omega$ , 圆心记为 $I^{'}$ .

由蒙日定理, $\omega$ , $c_3$ 的外位似中心(记为 $E^{'}$ ), $\omega$ , $c_1$ 的外位似中心 ( $A$ ), $\omega_1$ , $c_3$ , $c_1$ 的外位似中心(记为 $X$ ) 共线, 即 $E^{'}$ 在 $A C$ 上. 同理, $E^{'}$ 在 $B D$ 上, 由此可知 $E^{'}$ 即为 $E$ .

由蒙日定理, $\omega$ , $c_3$ 的内位似中心 (记为 $F^{'}$ ), $c_1$ , $c_3$ 的内位似中心 ( $K$ ), $\omega$ , $c_1$ 的外位似中心共线 ( $A$ ), 即 $F^{'}$ 在 $A K$ 上. 同理, $F^{'}$ 在 $B L$ 上, 由此可知 $F^{'}$ 即为 $F$ .