【高等数学】奇点与留数

奇点的定义

如果 $f$ 在 $z_0$ 的某个邻域内不解析，但在 $z_0$ 的去心邻域内解析，称 $z_0$ 是$f$的一个奇点。

回顾复解析函数的定义

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$, 即
$f=g(x,y)+\mathbf{i}h(x,y)$, 且 $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial h}{\partial y}$, $\frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{\partial h}{\partial x}$

可去奇点

如果 $f$ 在 $z_0$ 处存在极限， 则称为可去奇点。

极点

如果 $f$ 在 $z_0$ 的极限为无穷大，则称该奇点为极点。

一阶极点

如果存在表示 $f(z)=\frac{\varphi (z)}{z-a}$ 且 $\varphi (a)\ne 0$, 且 $\varphi (z)$ 在 $z=a$ 处解析， 称 $z=a$ 是 $f$ 的一阶极点。

m阶极点

如果存在表示 $f(z)=\frac{\varphi (z)}{(z-a{)}^m}$ 且 $\varphi (a)\ne 0$, 且 $\varphi (z)$ 在 $z=a$ 处解析， 称 $z=a$ 是 $f$ 的 $m$ 阶极点。

本性奇点

不是奇点与极点的奇点称为本性奇点。 例如$a$ 的某个邻域内去掉任意有限个点仍然是不解析函数， 在 $a$ 附近无限震荡， 或者其他复杂行为的函数。

在复变函数理论中，留数的定义如下：
设 $f$ 是定义在复平面上的一个函数，且在 $z=a$ 处有一个孤立奇点（即 $a$ 是 $f$ 的一个奇点，但在 $a$ 的某个邻域内，$f$ 除了在 $a$ 点外是解析的。如果 $f$ 在 $z=a$ 处有一个一阶极点，那么 $f$ 在 $z=a$ 处的留数定义为：
$$\mathrm{Res}(f,a)=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$$
对于更高阶的极点，留数的定义稍微复杂一些。如果 $f$) 在 $z=a$ 处有一个 $m$ 阶极点即 $(z-a{)}^{m}f(z)$ 在 $z=a$处解析且不为零），那么 $f$ 在 $z=a$ 处的留数定义为：
$$\text{Res}(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}\left[(z-a{)}^{m}f(z)\right]$$
这里的 $\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}$ 表示对 $(z-a{)}^{m}f(z)$ 进行 $m-1$ 次求导。

留数定理

留数定理：设 $f$ 是在复平面上除了一些孤立奇点外解析的函数，$C$ 是一条包围这些奇点的正向简单闭合曲线，那么
$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\text{Res}(f,a_k)$$
其中 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 是 $C$ 内部的所有奇点，$\text{Res}(f,a_k)$ 是 $f$ 在 $a_k$ 处的留数。

例

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos (x)}{x^2+1}dx$$

由于被积函数是偶函数，我们可以简化积分：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos (x)}{x^2+1}dx=2{\int }_0^{+\infty }\frac{\cos (x)}{x^2+1}dx$$
接下来，将 $\cos (x)$ 表达为复指数形式：
$$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$
因此，积分变为：
$$2{\int }_0^{+\infty }\frac{\cos (x)}{x^2+1}dx={\int }_0^{+\infty }\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{x^2+1}dx$$
分别对 $e^{ix}$ 和 $e^{-ix}$ 进行积分，但由于 $e^{-ix}$ 的积分会得到一个与 $e^{ix}$ 相同的结果，只需要计算 $e^{ix}$ 的积分并乘以 2。考虑到 $e^{ix}$ 的积分在下半平面是 $e^{-ix}$ 的积分的共轭，实际上只需要计算 $e^{ix}$ 的积分。
现在，考虑沿上半平面（包括实轴）的闭合路径积分。选择一个半圆路径 $C_R$，半径为 $R$，在实轴上方，并加上实轴上的线段 $[-R,R]$。根据留数定理，闭合路径的积分为 $2\pi i$ 乘以位于上半平面的极点的留数之和。
在 $z=i$ 处有一个一阶极点，因此需要计算：
$$\text{Res}\left(\frac{e^{iz}}{z^2+1},i\right)=\underset{z\to i}{\lim }(z-i)\frac{e^{iz}}{z^2+1}=\underset{z\to i}{\lim }\frac{e^{iz}}{z+i}=\frac{e^{-1}}{2i}$$
因此，闭合路径上的积分为：
$${\oint }_{C_R}\frac{e^{iz}}{z^2+1}dz=2\pi i\cdot \frac{e^{-1}}{2i}=\pi e^{-1}$$
当 $R\to \infty$ 时，半圆路径上的积分趋于零，因此得到：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx=\pi e^{-1}$$
最后，由于只考虑了 $e^{ix}$ 的积分，需要将结果乘以 2，并取实部来得到原始积分的值。但是，由于 $e^{ix}$ 和 $e^{-ix}$ 的积分是共轭的，乘以 2 并取实部实际上只是将结果乘以 2，因此原始积分的值为：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos (x)}{x^2+1}dx=\pi e^{-1}=\frac{\pi }{e}$$

>>>from sympy import *
>>>x=symbols("x")
>>>y=cos(x)/(1+x**2)
>>>integrate(y,(x,-oo,oo))pi* exp(-1)