【线性代数\矩阵论】矩阵逆引理证明、应用
矩阵逆引理证明、应用
矩阵求逆引理要解决的问题是：减少矩阵求逆的计算量。已知一个矩阵 A A A及其逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1，当矩阵产生了变化时，例如增加一个扰动 P P P，能不能根据已知的逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1，求产生变化后的矩阵的逆 A ′ − 1 = ( A + E ) − 1 A'^{-1}=(A+E)^{-1} A′−1=(A+E)−1。这里说的扰动 P P P可以分解为 P = B D − 1 C P=BD^{-1}C P=BD−1C，其中：
- A A A为 n × n n\times n n×n矩阵
- B B B为 n × m n\times m n×m矩阵
- C C C为 m × n m\times n m×n矩阵
- D D D为 m × m m\times m m×m矩阵
证明
令 X X X为 A ′ − 1 A'^{-1} A′−1相对于 A − 1 A^{-1} A−1的变化量，有如下等式成立：
A − 1 + X = ( A + P ) − 1 = ( A + B D − 1 C ) − 1 A^{-1}+X=(A+P)^{-1}=(A+BD^{-1}C)^{-1} A−1+X=(A+P)−1=(A+BD−1C)−1
应用
以三阶矩阵求逆为例：
三阶矩阵求逆其实没必要用逆引理，矩阵维度变高后，例如1000x1000，利用逆引理可以加快求逆。
对比结果
A A A及 A − 1 A^{-1} A−1
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A ′ A' A′及 A ′ − 1 A'^{-1} A′−1
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