【高等数学】微分学的应用

中值定理

罗尔中值定理

• $f$ 在 $[a,b]$ 区间上连续，
• 在 $(a,b)$ 上可导,
• 且 $f(a)=f(b)$
• 则存在 $\xi \in [a,b]$, $f^{\prime }(\xi )=0$

拉格朗日中值定理

• $f$ 在 $[a,b]$ 区间上连续，
• 在 $(a,b)$ 上可导,
• 则存在 $\xi \in [a,b]$, $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

• 拉格朗日余项 $\exists \xi$, $f(b)=f(a)+f^{\prime }(\xi )(b-a)$
• 柯西余项 $f(b)=f(a)+(b-a){\int }_0^1{f}^{\prime }(a+t(b-a))dt$

柯西中值定理

• $f$, $g$ 在 $[a,b]$ 区间上连续，
• 在 $(a,b)$ 上可导,
• 则存在 $\xi \in [a,b]$, $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

泰勒中值定理

• $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$上连续，
• 在 $U(x_0)$ 上 $n$ 阶可导,
• 则存在 $\theta \in [0,1]$, $z_{\theta }=x+\theta (y-x)$,
  拉格朗日余项 $f(y)=f(x)+f^{\prime }(x)(y-x)+\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2}(y-x{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(y-x{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(z_{\theta })}{(n+1)!}(y-x{)}^{n+1}$
• 柯西余项 $f(y)=f(x)+f^{\prime }(x)(y-x)+\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2}(y-x{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(y-x{)}^n+\frac{{\int }_0^1{f}^{(n+1)}(z_{\theta })d\theta }{(n+1)!}(y-x{)}^{n+1}$

麦克劳林公式

• $f$ 在原点的某个邻域上连续，
• 在该邻域上 $n$ 阶可导,
• 则存在 $\theta \in [0,1]$,
  拉格朗日余项 $f(y)=f(0)+f^{\prime }(0)y+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(0)y^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{y}^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta y)}{(n+1)!}{y}^{n+1}$
• 柯西余项 $f(y)=f(0)+f^{\prime }(0)y+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}{y}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{y}^n+\frac{{\int }_0^1{f}^{(n+1)}(\theta y)d\theta }{(n+1)!}{y}^{n+1}$

积分中值定理

• 第一积分中值定理: 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续

• $\exists \xi \in [a,b]$, $f(\xi )(b-a)={\int }_a^{b}f(x)dx$

• 第二积分中值定理: 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, $g$ 在 $[a,b]$ 单调

• $\exists \xi \in [a,b]$, ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)dx$

洛必达法则

$\frac{0}{0}$

• $\lim f(x)=\lim g(x)=0$
• $\lim f^{\prime }(x)$, 存在 $\lim g^{\prime }(x)\ne 0$
• $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

$\frac{\infty }{\infty }$

• $\lim f(x)=\lim g(x)=\infty$
• $\lim f^{\prime }(x)$, 存在 $\lim g^{\prime }(x)\ne 0$
• $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

$\infty -\infty$

• $\infty -\infty =\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=\frac{0-0}{0\cdot 0}$ 按照 $\frac{0}{0}$ 计算
• $0^0,1^{\infty },{\infty }^0$ 对数化

函数单调性与最值

极值点可导情况

• $f^{\prime }(x)\le 0$, $x<x_0$, $f$ 单调减少
• $f^{\prime }(x)\ge 0$, $x>x_0$, $f$ 单调增加
• 且 $f^{\prime }(x)=0$, \textbf{则} $x_0$ 是极小值点

极值点不可导情况

• $f^{\prime }(x)\le 0$, $x<x_0$, $f$ 单调减少
• $f^{\prime }(x)\ge 0$, $x>x_0$, $f$ 单调增加
• $f^{\prime }(x)$不存在, \textbf{则} $x_0$ 是极小值点

函数凹凸性与拐点

二阶可导

• $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, $x<x_0$, $f$ 凸
• $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, $x>x_0$, $f$ 凹
• $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, \textbf{则} $x_0$ 是拐点

拐点处二阶不可导

• $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, $x<x_0$, $f$ 凸
• $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, $x>x_0$, $f$ 凹
• $f^{\prime \prime }(x_0)$ 不存在, \textbf{则} $x_0$ 是拐点

一阶可导

• $f^{\prime }(x)$ 单调减少, $x>x_0$
• $f^{\prime }(x)$ 单调增加, $x<x_0$
• $f^{\prime }(x)$ 取得极小值, \textbf{则} $x_0$ 是拐点

函数渐近线

水平渐近线 $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=c$, $y=c$

铅直渐近线 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$, $x=c$

斜渐近线

• $k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$,
• $b=\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)-kx$,
• $y=kx+b$

其他方面的应用举例

相关变化率

• 已知 变量 $x$,$y$ 满足关系式 $F(x,y)=0$, 则考虑 $x=x_0,y=y_0$ 时, 若 $x$ 的变化率为 $x^{\prime }$, 求 $y^{\prime }$.
• $\frac{d}{dt}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0$.

增长率

• $r=\frac{y^{\prime }(x)}{y(x)}$

曲率、曲率半径

弧微分

• 弧微分 $ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$
• 直角坐标系: $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
• 参数方程: $ds=\sqrt{(x_t^{\prime }{)}^2+(y_t^{\prime }{)}^2}dt$
• 极坐标系 $ds=\sqrt{(r(\theta ){)}^2+(r^{\prime }(\theta ){)}^2}d\theta$

曲率

• $k=\frac{d\alpha }{ds}$
• 直角坐标系: $k(x)=\frac{y^{\prime \prime }(x)}{1+(y^{\prime }(x){)}^2}$
• 参数方程: $k(t)=\frac{{\varphi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\varphi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)}{(({\varphi }^{\prime }(t){)}^2+({\psi }^{\prime }(t){)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}$, ($x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$)
• 极坐标: $k(\theta )=\frac{2(r^{\prime }{)}^2-r^{\prime \prime }r+r^2}{((r^{\prime }{)}^2+r^2{)}^{\frac{3}{2}}}$, ($r=r(\theta )$)