常用滤波算法（十一）-卡尔曼滤波

引言

卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种高效的递归滤波器，广泛应用于信号处理、控制系统、导航与制导等领域。它通过预测和更新两个步骤，利用系统模型和观测数据，对动态系统的状态进行最优估计。

卡尔曼滤波的基本原理

卡尔曼滤波基于线性代数和概率论，主要包括以下五个方程：

预测方程：

状态预测：$ \hat{x}{k|k-1} = A \hat{x}{k-1|k-1} + B u_{k-1} $
预测误差协方差：$ P_{k|k-1} = A P_{k-1|k-1} A^T + Q $

更新方程：

卡尔曼增益：$ K_k = P_{k|k-1} H^T (H P_{k|k-1} H^T + R)^{-1} $
状态更新：$ \hat{x}{k|k} = \hat{x}{k|k-1} + K_k (z_k - H \hat{x}{k|k-1}) $
误差协方差更新：$ P{k|k} = (1 - K_k H) P_{k|k-1} $
其中，$ \hat{x} $ 表示状态估计，$ P $ 表示估计误差协方差，$ A $ 和 $ B $ 是系统矩阵，$ H $ 是观测矩阵，$ Q $ 是过程噪声协方差，$ R $ 是观测噪声协方差，$ u $ 是控制输入，$ z $ 是观测值。

C语言实现

以下是一个简单的C语言实现，用于一维卡尔曼滤波。
#include <stdio.h>
// 卡尔曼滤波结构体
typedef struct {
double x; // 状态估计
double P; // 估计误差协方差
double Q; // 过程噪声协方差
double R; // 观测噪声协方差
double A; // 系统矩阵
double H; // 观测矩阵
} KalmanFilter;
// 初始化卡尔曼滤波器
void kalman_init(KalmanFilter *kf, double x0, double P0, double Q, double R, double A, double H) {
kf->x = x0;
kf->P = P0;
kf->Q = Q;
kf->R = R;
kf->A = A;
kf->H = H;
}
// 卡尔曼滤波更新
double kalman_update(KalmanFilter *kf, double z) {
// 预测
double x_predict = kf->A * kf->x;
double P_predict = kf->A * kf->P * kf->A + kf->Q;
// 更新
double K = P_predict * kf->H / (kf->H * P_predict * kf->H + kf->R);
kf->x = x_predict + K * (z - kf->H * x_predict);
kf->P = (1 - K * kf->H) * P_predict;
return kf->x;
}

int main() {
KalmanFilter kf;
double z[10] = {1.0, 2.0, 0.9, 1.2, 0.8, 1.3, 1.1, 1.5, 0.9, 1.4}; // 观测数据
int n = sizeof(z) / sizeof(z[0]);

// 初始化卡尔曼滤波器
kalman_init(&kf, 0.0, 1.0, 0.1, 0.5, 1.0, 1.0);
// 滤波过程
for (int i = 0; i < n; i++) {double x_est = kalman_update(&kf, z[i]);printf("观测值: %lf, 估计值: %lf\n", z[i], x_est);
}
return 0;

}

代码解释

结构体定义：KalmanFilter 结构体包含卡尔曼滤波所需的所有参数和状态。
初始化函数：kalman_init 函数用于初始化卡尔曼滤波器。
更新函数：kalman_update 函数根据观测值更新滤波器的状态估计和误差协方差。
主函数：在 main 函数中，定义一个观测数据数组，初始化卡尔曼滤波器，并通过循环对观测数据进行滤波，输出每一步的观测值和估计值。

结论

通过以上C语言实例，我们展示了一维卡尔曼滤波的实现方法。卡尔曼滤波以其高效和递归的特点，在动态系统的状态估计中发挥着重要作用。通过调整系统矩阵、观测矩阵以及噪声协方差等参数，卡尔曼滤波可以适应不同的应用场景。