运动控制 PID算法

一、自动控制简介

自动控制系统是使用自动控制装置对关键控制参数进行自动控制，使它在收到外界干扰偏离正常状态时，能够自动的调节到目标范围内。

1.1 开环控制系统

输出只受到输入控制，没有反馈回路，控制精度和抗干扰能力差，例如家用风扇。

1.2 闭环控制系统

在开环控制系统的基础上引入反馈回路，利用输出和输入值的偏差进行控制，避免偏离预定目标，例如温室大棚。

1.3 电机速度闭环控制系统

二、PID算法

PID是Propotional、Integral、Differential 的首字母缩写，它是结合比例，积分，微分的一种自动控制算法。
本质是根据比例，积分，微分的函数关系进行计算，运算结果用于输出控制。

2.1 比例

$$u_k=K_p\cdot e_k$$

• uk 输出
• Kp 比例系数
• ek 偏差
• Kp 越大，系统响应越快，越快到达目标值。
• Kp 过大会使系统产生过大的超调和震荡，导致系统的稳定性变差。
• 仅有比例环节无法消除静态误差
  

成比例的反应控制系统的偏差信号，uk与输入偏差ek成正比，用来减小系统的偏差。

2.1.1 静态误差

系统趋于稳定时，实际和目标之间的偏差。产生原因是输出被外界干扰抵消。

假设温室大棚的目标温度设定为30°C，但由于某些外部因素（如天气变化、设备老化等）导致大棚内的实际温度偏离了目标温度。此时，温度控制系统启动比例控制来尝试将温度调整回目标值。

1. 初始状态：
   • 目标温度（setpoint）：30°C
   • 实际温度（initial state）：25°C
   • 静态误差（error）：30°C - 25°C = 5°C
2. 比例控制作用：
   • 假设比例系数（Kp）为0.5（这只是一个示例值，实际应用中会根据系统特性进行调整）。
   • 控制输出（u）为比例系数乘以静态误差，即u = 0.5 * 5°C = 2.5°C。
3. 系统响应：
   • 控制输出作用于系统，尝试将温度提升2.5°C。然而，由于系统本身的惯性和外部干扰的存在，实际温度可能不会立即上升到27.5°C（25°C + 2.5°C），而是会上升到一个略低于这个值的温度，比如27°C。
4. 静态误差仍然存在：
   • 在这个新的稳态下，静态误差变为30°C - 27°C = 3°C，虽然比初始的5°C有所减小，但仍然存在。

这个例子清楚地展示了比例控制无法消除静态误差的原因：

• 比例控制只根据当前的静态误差来调整控制输出，而没有考虑误差的历史积累或未来的变化趋势。
• 因此，当系统受到持续的外部干扰或存在内部惯性时，比例控制可能无法将系统精确地调整到目标状态，而是会在一个接近目标值但略有偏差的状态下稳定下来。

2.2 积分

$$u_k=K_p\cdot e_k+K_i\sum _{j=0}^k{e}_j$$

• uk 输出
• Ki 积分系数
• Kp 比例系数
• ek k时刻的误差
• Σe 误差的积分

积分环节实际上是对误差进行累加的过程。当系统存在持续误差时，积分项会累积这些误差，并通过调整输出逐渐减小误差，直到偏差为零。这种机制使得系统能够更精确地达到并维持设定值。

以温度控制系统为例，假设目标温度设定为50℃。在只有比例控制的情况下，如果系统因为外部干扰（如热量散失）导致温度偏离目标值，比例控制只能根据当前的误差来调整加热功率，但无法完全消除由于外部干扰造成的误差累积。而引入积分环节后，控制系统会对历次误差进行累加，并根据累加的误差值来逐步调整加热功率，从而消除由于外部干扰造成的误差累积，使系统更精确地稳定在目标温度。

对于惯性较大的系统，系统的响应速度相对较慢，无法立即跟上积分环节的快速调整，从而导致系统输出超出预期，产生超调震荡。

积分系数Ki的影响：

• Ki过大：当Ki设置得过大时，积分作用会相对较弱。这意味着系统对误差的累积速度较慢，虽然可以更快地消除静差，但也可能导致系统对误差的敏感度降低，响应速度变慢。在某些情况下，过大的Ki还可能导致系统出现振荡现象。
• Ki过小：当Ki设置得过小时，积分作用会相对较强。这会导致系统对误差的累积速度较快，虽然可以更有效地消除静差，但也可能使系统响应过度，产生不必要的振荡。此外，过小的Ki还可能导致系统无法稳定地维持在设定值附近。

2.3 微分环节

$$u_k=K_p\cdot e_k+K_i\sum _{j=0}^k{e}_j+K_d(e_k-e_{k-1})$$

微分环节的作用是根据偏差的变化率来进行控制，它能够预测偏差的未来趋势。微分作用有助于提高系统的动态性能，具体表现为：

• 加快系统的响应速度：微分项能够预测误差的变化趋势，提前作出调整，从而加快系统的响应速度。
• 减小超调和振荡：通过预测误差的变化，微分项可以在误差达到峰值之前进行调整，从而有效减小超调和振荡。
• 增加系统稳定性：微分项还有助于减小高频噪声对系统的影响，提高系统的稳定性。然而，需要注意的是，过大的微分作用可能导致系统对噪声过于敏感，产生不必要的调整。

以温度控制系统为例，假设我们希望将房间的温度保持在设定值。当房间的实际温度低于设定值时，控制系统会启动加热器来升温。如果仅使用比例（P）和积分（I）环节进行控制，系统可能会出现超调和振荡现象，即温度超过设定值后再回落，如此反复。

此时，如果我们引入微分（D）环节，系统就能够预测温度的变化趋势。当系统检测到温度正在迅速上升时，微分项会立即产生一个控制作用，减小加热器的输出功率，从而避免温度超过设定值。这样，系统就能够更平稳地过渡到稳态，提高控制精度和稳定性。

2.4 位置式PID

$$u_k=K_p\cdot e_k+K_i\sum _{j=0}^k{e}_j+K_d(e_k-e_{k-1})$$

位置式PID 特点：

• uk 直接对应输出（例如位置），如果计算出现异常，对结果影响非常大。
• 全量计算，需要对偏差进行累加，计算量较大。
• 在不带积分部件中效果很好，例如电机伺服阀，温控系统等。

2.5 增量式PID

• 先写出位置式PID公式
  $$u_k=K_p\cdot e_k+K_i\sum _{j=0}^k{e}_j+K_d\cdot (e_k-e_{k-1})$$
• 把K-1带入上述公式中，得到如下公式
  $$u_{k-1}=K_p\cdot e_{k-1}+K_i\sum _{j=0}^{k-1}{e}_j+K_d\cdot (e_{k-1}-e_{k-2})$$
• 使用第一个公式减去第二个公式得到∆u
  $$∆u_k=K_p\cdot (e_k-e_{k-1})+K_i\cdot e_k+K_d\cdot (e_k-2\cdot e_{k-1}+e_{k-2})$$

增量式PID特点：

• 增量式PID计算的是相对于上一次输出等增量，即： $$u_k=u_{k-1}+∆u_k$$
• 只与最近三次的偏差有关，计算出错对系统影响较小。
• 计算量小，实时性好。