线代的几何意义（2）——矩阵乘法，三维及更高维的解释，与非方阵的几何解释
上一篇文章 讲解了矩阵的几何意义是线性变换。那么今天的文章将会在此基础上进一步拓展，探明矩阵乘法与行列式的直观几何解释。
矩阵乘法
首先，先来回顾一下矩阵乘法的几何解释：一个矩阵是一个线性变换，也就是对坐标系的压缩拉伸等操作，换言之是对基底的变换。
有矩阵 A A A，一个向量在最开始的基底上坐标为 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)的向量 p p p。那么在变换后的坐标系里，向量相对于最开始的基底的坐标将变为 A p Ap Ap。
那么，拓展这个过程，我们可以想到，能够再对变换后的坐标系再进行一次线性变换 B B B，那么进行第二次变换后的向量相对于最开始的基底的坐标将变为 B A p BAp BAp。可以明白，对坐标系进行多次的线性变换，就是矩阵乘法的几何解释。
三维及更非方阵的解释
我们之前都在讨论二维的情况。实际上，线性变换这种几何解释对三维和更高维同样适用（不过似乎我们好像也只能想象到三维）。
由于三维的图绘制需要更多的专业知识，想看直观的动画的读者可以去看3Blue1Brown的视频，这里就只做文字描述。
三维方阵
同二维矩阵的思考逻辑，三维矩阵其实就是对三维空间的线性变换，换言之是对三维空间的拉伸，压缩等变换。
我们可以通过追踪其基底来了解某种变换。如下是单位矩阵，换言之就是单位正交基底，第一，二，三列分别表示 x , y , z x,y,z x,y,z轴上的单位基底。
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] 100010001
而如下的矩阵则表示一种线性变换，其变换的结果是将基底变成了如下样子：
[ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 2 ] \left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right] −1000−10002
这个线性变换的结果其实非常清晰，简言之就是让 x y xy xy平面上的向量相对与原点做一次中心对称操作，再将 z z z轴上的向量拉伸两倍。
同理，更高维的矩阵同样也有这些性质，只是更高维的几何解释我们无法想象或者说难以直接观察，这里就不再谈及了。
非方阵
根据我们前面对矩阵的列是由变换后坐标系的基底构成这一解释，可以想到，非方阵其实也可以视为线性变换，只是可能涉及到维度的压缩与拓展而已。
如下，这是一个 2 × 3 2\times 3 2×3的矩阵:
[ 1 0 2 − 3 1 2 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] [1−30122]
根据前面的分析，这个矩阵有两行，代表变换后得到的是一个二维空间。但是有三列，则表示变换后的空间由三组基底构成。如果考虑这是对二维空间的单位正交基底进行的线性变换，则有一个向量冗余，没有对空间产生贡献。这是因为在前两个基底线性不相关的情况下，第三个必定能由前两个基底的线性组合表示出来。
那么，我们在来看看下面这个 3 × 2 3\times 2 3×2的矩阵：
[ 1 0 − 3 1 3 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] 1−33011
左边一列表示变换后的 i i i 基底，右边一列表示变换后的 j j j 基底。这个矩阵表示的是一种将二维的空间映射如三维空间的变换，由于只有两个基底，变换后的三维空间是不确定的。