期权定价的一个例子
内容来源
数理金融初步（原书第3版）Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社
假设
名义利率为 r r r， C C C 为期权价格
股票现价为每股 100 100 100，并且已知在一单位时间后它的价格为 200 200 200 或 50 50 50
对任意 y y y，可以以 C y Cy Cy 的成本在时刻 0 0 0 购买 y y y 股期权，使得在时刻 1 1 1 可以以每股 150 150 150 的价格买入 y y y 股股票
定价
将证明：若 r r r 是单位时期的利率，只要不是 C = [ 100 − 50 ( 1 + r ) − 1 ] / 3 C=[100-50(1+r)^{-1}]/3 C=[100−50(1+r)−1]/3，就存在一个购买组合，它在任何情况下都能带来正的利润现值
假设在时刻 0 0 0，买入 x x x 单位股票，买入 y y y 单位期权
这里 x , y x,y x,y 均可正可负
（为负表示卖出，有责任在时刻 1 1 1 买入并归还对应的期权或股票）
这个交易的成本为
100 x + C y 100x+Cy 100x+Cy
如果此成本为正，那么该款项应该是从银行借得，并在时刻 1 1 1 连同利息一起归还
若其为负，则所收到的款项 − ( 100 x + C y ) -(100x+Cy) −(100x+Cy) 应存入银行并在时刻 1 1 1 取回
所持资产在时刻 1 1 1 的价值如下
{ 200 x + 50 y , 股票价格 200 50 x , 股票价格 50 \begin{cases} 200x+50y&,股票价格200\\ 50x&,股票价格50\\ \end{cases} {200x+50y50x,股票价格200,股票价格50
令两式相等，得
y = − 3 x y=-3x y=−3x
这样，只要满足 y = − 3 x y=-3x y=−3x，那么无论股票价格如何，在时刻 1 1 1 的所持资产价值都为 50 x 50x 50x
那么获利如下
50 x − ( 100 x + C y ) ( 1 + r ) = ( 1 + r ) x [ 3 C − 100 + 50 ( 1 + r ) − 1 ] \begin{align*} &50x-(100x+Cy)(1+r)\\ &=(1+r)x[3C-100+50(1+r)^{-1}] \end{align*} 50x−(100x+Cy)(1+r)=(1+r)x[3C−100+50(1+r)−1]
如果 C ≠ [ 100 − 50 ( 1 + r ) − 1 ] / 3 C\ne[100-50(1+r)^{-1}]/3 C=[100−50(1+r)−1]/3
那么只要在 3 C > 100 − 50 ( 1 + r ) − 1 3C>100-50(1+r)^{-1} 3C>100−50(1+r)−1 取 x x x 为正
在 3 C < 100 − 50 ( 1 + r ) − 1 3C<100-50(1+r)^{-1} 3C<100−50(1+r)−1 取 x x x 为负
就可以保证得到正的获利