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非线性结构之树

news 2024/11/5 15:47:45

一、N 叉树（N-ary Tree）

1. 定义

N 叉树是一种每个节点最多有 N 个子节点的树结构。与二叉树不同，N 叉树可以有更多的子节点，常用于组织层次关系复杂的数据结构。

2. 特点

树的阶（N）：定义每个节点最多能拥有的子节点数。
度（Degree）：N 叉树的节点度数范围是 0 到 N。
高度（Height）：从根节点到叶节点的最大层数。
叶节点：没有子节点的节点。

3. 优缺点

优点：结构灵活，可以很好地表示多层次的复杂关系。
缺点：在查找时不如二叉树高效，查找复杂度为 O(N^h)，其中 h 为树的高度。

4. 应用

文件系统：目录和文件通常以 N 叉树形式组织。
游戏引擎：如场景图管理中也会用到 N 叉树。

二、B 树（B-Tree）

1. 定义

B 树是一种自平衡的多叉搜索树，通常用于数据库和文件系统的索引。它具有以下特性：

每个节点可以存储多个关键字，并有多个子树。
B 树是阶为 M 的树，每个节点最多有 M 个子节点，关键字按顺序排列，且子树节点满足范围约束。

2. 特点

节点容量：每个节点最多可以包含 M - 1 个关键字。
平衡性：B 树始终保持平衡，插入和删除操作通过节点的分裂和合并来实现。
查找复杂度：查找复杂度为 O(log n)，适合处理海量数据。

3. 优缺点

优点：减少树的高度，快速查找、插入、删除，特别适合磁盘存储的批量读取。
缺点：随着 M 增加，节点的分裂、合并操作变得复杂。

4. 应用

数据库索引：MySQL 的 InnoDB 引擎等使用 B 树作为索引结构。
文件系统：例如 NTFS 文件系统使用 B 树组织文件。

5. 示例

一个阶为 4 的 B 树示例如下：

三、B+ 树

1. 定义

B+ 树是 B 树的变种，改进了数据存取效率。与 B 树不同的是，B+ 树的内部节点只存储索引，所有数据均在叶节点中。叶节点通过链表相连，使得区间查找更高效。

2. 特点

叶节点链表：叶节点形成一个链表，便于顺序遍历。
冗余索引：内部节点只存储索引，叶节点存储全部数据。
查找效率：支持顺序和区间查找，插入、删除复杂度为 O(log n)。

3. 优缺点

优点：数据均匀分布在叶节点中，顺序查找和区间查找速度快。
缺点：内部节点冗余，空间利用率低于 B 树。

4. 应用

数据库索引：MySQL、MongoDB 等数据库系统使用 B+ 树进行高效查询。
文件系统：例如 ReFS 文件系统使用 B+ 树作为存储结构。

四、B* 树

1. 定义

B 树**是 B+ 树的进一步优化版。B 树在节点满时尝试分裂节点并重新分配，而不是立即分裂。这样减少了节点分裂频率，降低树的高度。

2. 特点

兄弟节点分裂：节点满时会先与兄弟节点分裂，尽量减少新节点的创建。
空间利用率：比 B+ 树高，一般在 66% 左右。

3. 优缺点

优点：减少节点分裂次数，提高空间利用率。
缺点：实现更复杂，适合需要高性能存储的系统。

4. 应用

文件系统：B* 树适用于磁盘读写频繁的文件系统和数据库索引。

五、线段树（Segment Tree）

1. 定义

线段树是一种用于处理区间查询的树结构，常用于解决动态区间问题（如区间最值、区间求和等）。其基础结构是完全二叉树。

2. 特点

区间存储：每个节点存储一个区间的值（如区间和、区间最值）。
动态更新：支持动态更新和查询操作，复杂度为 O(log n)。

3. 优缺点

优点：适用于区间查询和修改，能够高效处理动态数据。
缺点：实现复杂，占用较多空间（约 4n 个节点）。

4. 应用

图像处理：用于区间范围调整。
竞赛编程：解决区间求和、区间最值问题。

5. 示例代码（Java）

以下是一个简单的线段树实现，用于区间求和：

class SegmentTree {int[] tree; // 线段树int n;      // 数组大小// 初始化线段树public SegmentTree(int[] arr) {n = arr.length;tree = new int[4 * n];buildTree(arr, 0, 0, n - 1);}// 构建线段树private void buildTree(int[] arr, int node, int start, int end) {if (start == end) {tree[node] = arr[start];} else {int mid = (start + end) / 2;buildTree(arr, 2 * node + 1, start, mid);buildTree(arr, 2 * node + 2, mid + 1, end);tree[node] = tree[2 * node + 1] + tree[2 * node + 2];}}// 区间查询public int query(int L, int R) {return queryTree(0, 0, n - 1, L, R);}private int queryTree(int node, int start, int end, int L, int R) {if (R < start || L > end) {return 0;}if (L <= start && end <= R) {return tree[node];}int mid = (start + end) / 2;int leftSum = queryTree(2 * node + 1, start, mid, L, R);int rightSum = queryTree(2 * node + 2, mid + 1, end, L, R);return leftSum + rightSum;}// 更新public void update(int idx, int value) {updateTree(0, 0, n - 1, idx, value);}private void updateTree(int node, int start, int end, int idx, int value) {if (start == end) {tree[node] = value;} else {int mid = (start + end) / 2;if (idx <= mid) {updateTree(2 * node + 1, start, mid, idx, value);} else {updateTree(2 * node + 2, mid + 1, end, idx, value);}tree[node] = tree[2 * node + 1] + tree[2 * node + 2];}}
}

总结比较

数据结构	特点	优点	缺点	应用场景
N 叉树	每节点 N 个子节点	结构灵活	查询效率低	文件系统、层次关系数据
B 树	M 阶平衡树	插入删除高效	节点合并复杂	数据库索引、文件系统
B+ 树	叶节点链表结构	顺序查找、区间查找快	内存开销高	数据库、高性能存储
B* 树	改进的 B+ 树	节点分裂少，效率高	实现复杂	需要高效查询的文件系统
线段树	区间存储	区间查询、动态更新快	空间复杂度高	图像处理、动态区间查询