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最小期望风险估计

最小期望风险估计(Minimum Expected Risk Estimation, MER)是一种在贝叶斯框架下,通过最小化期望损失(或风险)来选择最优估计值的方法。这种方法不仅考虑了参数的不确定性,还考虑了估计误差的代价。

基本概念

  1. 损失函数

    • 损失函数 L ( θ , θ ^ ) L(\theta, \hat{\theta}) L(θ,θ^)表示当参数的真实值为 θ \theta θ 时,估计值 θ ^ \hat{\theta} θ^ 所带来的损失。常见的损失函数包括:
      • 平方损失 L ( θ , θ ^ ) = ( θ − θ ^ ) 2 L(\theta, \hat{\theta}) = (\theta - \hat{\theta})^2 L(θ,θ^)=(θθ^)2
      • 绝对损失 L ( θ , θ ^ ) = ∣ θ − θ ^ ∣ L(\theta, \hat{\theta}) = |\theta - \hat{\theta}| L(θ,θ^)=θθ^
      • 0-1损失 L ( θ , θ ^ ) = I ( θ ≠ θ ^ ) L(\theta, \hat{\theta}) = I(\theta \neq \hat{\theta}) L(θ,θ^)=I(θ=θ^),其中 I I I 是指示函数。
  2. 期望风险

    • 期望风险(或期望损失)是指在给定观测数据 x x x的情况下,参数 θ \theta θ 的后验分布 p ( θ ∣ x ) p(\theta | x) p(θx)下的平均损失。数学上,期望风险定义为:
      R ( θ ^ ) = E [ L ( θ , θ ^ ) ∣ x ] = ∫ L ( θ , θ ^ ) p ( θ ∣ x ) d θ R(\hat{\theta}) = E[L(\theta, \hat{\theta}) | x] = \int L(\theta, \hat{\theta}) p(\theta | x) d\theta R(θ^)=E[L(θ,θ^)x]=L(θ,θ^)p(θx)dθ

最小期望风险估计

为了找到最小期望风险的估计值,我们需要选择一个估计值 θ ^ \hat{\theta} θ^,使得期望风险 R ( θ ^ ) R(\hat{\theta}) R(θ^)达到最小。具体步骤如下:

  1. 定义损失函数

    • 选择一个合适的损失函数 L ( θ , θ ^ ) L(\theta, \hat{\theta}) L(θ,θ^)。不同的损失函数会导致不同的最优估计值。
  2. 计算期望风险

    • 对于给定的估计值 θ ^ \hat{\theta} θ^,计算期望风险 R ( θ ^ ) R(\hat{\theta}) R(θ^)
      R ( θ ^ ) = ∫ L ( θ , θ ^ ) p ( θ ∣ x ) d θ R(\hat{\theta}) = \int L(\theta, \hat{\theta}) p(\theta | x) d\theta R(θ^)=L(θ,θ^)p(θx)dθ
  3. 最小化期望风险

    • 选择一个估计值 θ ^ ∗ \hat{\theta}^* θ^,使得期望风险最小:
      θ ^ ∗ = arg ⁡ min ⁡ θ ^ R ( θ ^ ) \hat{\theta}^* = \arg\min_{\hat{\theta}} R(\hat{\theta}) θ^=argθ^minR(θ^)

常见的最优估计值

  1. 平方损失

    • 当损失函数为平方损失 L ( θ , θ ^ ) = ( θ − θ ^ ) 2 L(\theta, \hat{\theta}) = (\theta - \hat{\theta})^2 L(θ,θ^)=(θθ^)2时,最小期望风险的估计值是后验期望估计(Posterior Mean):
      θ ^ ∗ = E [ θ ∣ x ] = ∫ θ p ( θ ∣ x ) d θ \hat{\theta}^* = E[\theta | x] = \int \theta p(\theta | x) d\theta θ^=E[θx]=θp(θx)dθ
  2. 绝对损失

    • 当损失函数为绝对损失 L ( θ , θ ^ ) = ∣ θ − θ ^ ∣ L(\theta, \hat{\theta}) = |\theta - \hat{\theta}| L(θ,θ^)=θθ^时,最小期望风险的估计值是后验中位数估计(Posterior Median):
      θ ^ ∗ = median ( θ ∣ x ) \hat{\theta}^* = \text{median}(\theta | x) θ^=median(θx)
  3. 0-1损失

    • 当损失函数为0-1损失 L ( θ , θ ^ ) = I ( θ ≠ θ ^ ) L(\theta, \hat{\theta}) = I(\theta \neq \hat{\theta}) L(θ,θ^)=I(θ=θ^)时,最小期望风险的估计值是后验众数估计(Maximum A Posteriori, MAP):
      θ ^ ∗ = arg ⁡ max ⁡ θ p ( θ ∣ x ) \hat{\theta}^* = \arg\max_{\theta} p(\theta | x) θ^=argθmaxp(θx)

http://www.mrgr.cn/news/62356.html

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