计算结构力学:多自由度振动系统
本文以笔记的形式记录计算结构力学的若干基础知识。
注1:限于研究水平,分析难免不当,欢迎批评指正。
注2:文章内容会不定期更新。
预修1:线性代数
1. 标准特征值
复矩阵Schur分解:对于复矩阵,存在酉矩阵,使得为上三角矩阵。
实矩阵Schur分解: 对于实矩阵,存在正交矩阵,使得为上三角矩阵。
实对称矩阵Schur分解: 对于实对称矩阵,存在正交矩阵,使得。
2. 广义特征值
对于矩阵,若存在数,使得方程存在非零解,则为相对的特征向量,为相对于的对应特征向量。
工程应用中,与通常为Hermite矩阵或实对称矩阵。
复矩阵Schur分解:对于复矩阵,存在酉矩阵和,使得与为上三角矩阵,且。
实矩阵Schur分解:对于实矩阵,存在正交矩阵和,使得与为上三角矩阵。
实对称矩阵Schur分解:对于实对称矩阵及实对称正定矩阵,存在正交矩阵,使得, ,并且。
3. 多项式特征值
设及,则称为次矩阵多项式,记作。
对于矩阵多项式,若存在数,使得方程存在非零解,则称称为多项式特征值,为对应的特征向量。
容易看出,
- 当,并取,即,多项式特征值实际上就是广义特征值;
- 当,并取,即,多项式特征值实际上就是标准特征值;
预修2:积分变换
1. 辅助函数
定义单位阶跃函数
定义单位脉冲函数
定义指数衰减函数
2. 卷积分
对于函数、,则称为函数函数、的卷积,记作。
交换律:
3. Fourier变换
Fourier积分定理:若函数在上满足下列条件,(1). 在任一有限区间满足Dirichlet条件 ;(2). 在无限区间上绝对可积分(即),则有
记为函数的Fourier变换,对应的Fourier逆变换为。
微分性质:若时,,则有
4. Laplace变换
若函数在时有定义,可利用单位阶跃函数将Fourier变换积分区间缩减到正半轴,利用指数衰减函数来削减绝可积的要求,从而有
若函数在时有定义,而且积分在复数的某一域内存在,则记,
为函数的Laplace变换,
为的Laplace逆变换。
Laplace变换存在的充分条件:若函数在时满足以下条件,(1) 在任一有限区域分段连续;(2) 当时,存在常数及,使得, 则的Laplace变换在半平面上一定存在,右端积分在绝对收敛且一致收敛,并且在半平面内,为解析解。
微分性质:若,则有。
积分性质:若,则有
一、频域分析
对于多自由度广义动力学方程,
两边实施Fourier变换,则有
进一步,对于线性系统,则简化为
进一步,利用Laplace变换的微分性质,则有
对于零初始条件,则有
1.1 复模态分析
若不考虑外加激励 ,则有
可以看出,此问题实际上对应二次多项式特征值问题,需要考虑将其线性化,则有
,
将上述写成矩阵形式,则有
或
。
1.2 实模态分析
若不考虑外加激励与阻尼 ,则有
可以看出,此问题实际上对应二次多项式特征值问题,考虑矩阵与矩阵的正定性可知,
因此,是实部为零的纯虚数,可令,即有
二、时域分析
参考文献
- Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.
- 徐树方. 数值线性代数(第二版). 北京大学出版社, 2010.
- F. Tisseur and K. Meerbergen. The Quadratic Eigenvalue Problem. SIAM Review, 43 (2001), 235-286.
- 张元林. 积分变换.
- 胡少伟. 结构振动理论及其应用.
- 王勖成. 有限单元法
网络资料
数值线性代数:Arnoldi求解特征值/特征向量https://blog.csdn.net/qq_26221775/article/details/131690666?spm=1001.2014.3001.5502
数值线性代数: Krylov子空间法https://blog.csdn.net/qq_26221775/article/details/131947169?spm=1001.2014.3001.5502