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计算结构力学：多自由度振动系统

news 2024/10/30 13:18:57

本文以笔记的形式记录计算结构力学的若干基础知识。

注1：限于研究水平，分析难免不当，欢迎批评指正。

注2：文章内容会不定期更新。

预修1：线性代数

1. 标准特征值

复矩阵Schur分解：对于复矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，存在酉矩阵 $\boldsymbol{Q}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{T}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 为上三角矩阵。

实矩阵Schur分解：对于实矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{T}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 为上三角矩阵。

实对称矩阵Schur分解：对于实对称矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=diag\left ( \lambda _{1},\cdots , \lambda _{n} \right )\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 。

2. 广义特征值

对于矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n},\boldsymbol{B}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，若存在数 $\lambda$ ，使得方程 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda \mathbf{B}\mathbf{x}$ 存在非零解，则 $\lambda$ 为 $\boldsymbol{A}$ 相对 $\boldsymbol{B}$ 的特征向量， $\boldsymbol{x}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 相对于 $\boldsymbol{B}$ 的对应特征向量。

工程应用中， $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 通常为Hermite矩阵或实对称矩阵。

复矩阵Schur分解：对于复矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n},\boldsymbol{B}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，存在酉矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和 $\boldsymbol{Z}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{T}$ 与 $\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{S}$ 为上三角矩阵，且 $\lambda \left ( A,B \right )=\left\{\begin{matrix} 0& t_{kk}=0,s_{kk}=0\\ \frac{t_{ii}}{s_{ii}} & else \end{matrix}\right.$ 。

实矩阵Schur分解：对于实矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n},\boldsymbol{B}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和 $\boldsymbol{Z}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{T}$ 与 $\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{S}$ 为上三角矩阵。

实对称矩阵Schur分解：对于实对称矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 及实对称正定矩阵 $\boldsymbol{B}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，存在正交矩阵 $\boldsymbol{X}=\left [\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n} \right ]$ ，使得 $\boldsymbol{X}^TA\boldsymbol{X}=diag\left ( a_{1},\cdots ,a_{n} \right )\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ， $\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}=diag\left ( b_{1},\cdots ,b_{n} \right )\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，并且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{i}=\lambda_{i} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_{i},\lambda _{i}=\frac{a_{i}}{b_{i}}$ 。

3. 多项式特征值

设 $\boldsymbol{A}_{0},\cdots ,\boldsymbol{A}_{d}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 及 $\lambda \in\mathbb{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}_{0}+\lambda\boldsymbol{A}_{1}+\cdots + \lambda^{m}\boldsymbol{A}_{m}$ 称为 $m$ 次矩阵多项式，记作 $P\left ( \lambda \right )$ 。

对于矩阵多项式，若存在数 $\lambda_{i}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，使得方程 $P\left ( \lambda \right )\mathbf{x}=0$ 存在非零解 $\boldsymbol{x}_{i}$ ，则称 $\lambda_{i}$ 称为多项式特征值， $\boldsymbol{x}_{i}$ 为对应的特征向量。

容易看出，

当 $m=1$ ，并取 $\boldsymbol{A}_{1}=-\boldsymbol{B}$ ，即 $\left (\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{B} \right )\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，多项式特征值实际上就是广义特征值；
当 $m=1$ ，并取 $\boldsymbol{A}_{1}=-\boldsymbol{E}$ ，即 $\left (\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E} \right )\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，多项式特征值实际上就是标准特征值；

预修2：积分变换

1. 辅助函数

定义单位阶跃函数 $H\left ( t \right )$

$H\left ( t \right )=\begin{cases} 1 & \text{ if } t>0 \\ 0 & \text{ if } t<0 \end{cases}$

定义单位脉冲函数 $\delta \left ( t \right )$

$\delta _{\epsilon }\left ( t \right )=\begin{cases} \frac{1}{\epsilon } & \text{ if } 0\leq t \leq \epsilon \\ 0 & else \end{cases}, \delta\left ( t \right )=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\delta _{\epsilon }\left ( t \right )$

定义指数衰减函数 $E\left ( t \right )$

$E\left ( t \right )=\begin{cases} e^{-\beta t} & \text{ if } t\geq 0 \\ 0& \text{ if } t<0 \end{cases}$

2. 卷积分

对于函数 $f_{1}\left ( t \right )$ 、 $f_{2}\left ( t \right )$ ，则 $\int_{-\infty }^{+\infty}f_{1}\left ( \tau \right )f_{2}\left ( t-\tau \right )dt$ 称为函数函数 $f_{1}\left ( t \right )$ 、 $f_{2}\left ( t \right )$ 的卷积，记作 $f_{1}\left ( t \right )*f_{2}\left ( t \right )$ 。

交换律： $f_{1}\left ( t \right )*f_{2}\left ( t \right )=f_{2}\left ( t \right )*f_{1}\left ( t \right )$

3. Fourier变换

Fourier积分定理：若函数 $f\left ( t \right )$ 在 $\left ( -\infty ,+\infty \right )$ 上满足下列条件，(1). $f\left ( t \right )$ 在任一有限区间满足Dirichlet条件；(2). $f\left ( t \right )$ 在无限区间 $\left ( -\infty ,+\infty \right )$ 上绝对可积分(即 $\int_{-\infty }^{+\infty }\left |f\left ( t \right ) \right |dt < \infty$ )，则有

$f\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( \tau \right )e^{-j\omega\tau}d\tau e^{j\omega t}d\omega$

记 $F\left ( \omega \right )=\mathcal{F}\left ( f\left ( t \right ) \right ) =\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt$ 为函数 $f\left ( t \right )$ 的Fourier变换，对应的Fourier逆变换为 $f\left ( t\right )=\mathcal{F}^{-1}\left [ F\left ( \omega \right )\right ] =\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }F\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega$ 。

微分性质：若 $\left | t \right |\rightarrow \infty$ 时， $\left | f\left (t \right )\right |\rightarrow \infty$ ，则有 $\mathcal{F}\left ( {f}'\left ( t \right ) \right )=j\omega \mathcal{F}\left ( f\left ( t \right ) \right )$

4. Laplace变换

若函数 $f\left ( t \right )$ 在 $\left [ 0,+\infty \right )$ 时有定义，可利用单位阶跃函数将Fourier变换积分区间缩减到正半轴，利用指数衰减函数来削减绝可积的要求，从而有

$\mathcal{F}\left ( H\left ( t \right )E\left ( t \right )f\left ( t \right ) \right )=\int_{+\infty}^{+\infty } H\left ( t \right )E\left ( t \right )f\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-\beta t-j\omega t}dt$

若函数 $f\left ( t \right )$ 在 $\left [ 0,+\infty \right )$ 时有定义，而且积分 $\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-st}dt$ 在复数 $s=\beta +j\omega$ 的某一域内存在，则记，

$F\left ( s \right )=\mathcal{L}\left ( f\left ( t \right ) \right )=\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-st}dt$ 为函数 $f\left ( t \right )$ 的Laplace变换，

$f\left ( t \right )=\mathcal{L}^{-1}\left ( F\left ( s \right ) \right )=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty }^{\beta +j\infty}F\left ( s \right )e^{st}ds$ 为 $F\left ( s \right )$ 的Laplace逆变换。

Laplace变换存在的充分条件：若函数 $f\left ( t \right )$ 在 $t\geq 0$ 时满足以下条件，(1) 在 $t\geq 0$ 任一有限区域分段连续；(2) 当 $t\rightarrow +\infty$ 时，存在常数 $M>0$ 及 $c\geq 0$ ，使得 $\left | f\left ( t \right ) \right |<Me^{ct}$ ，则 $f\left ( t \right )$ 的Laplace变换 $\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-st}dt$ 在半平面 $Re\left ( s \right )>c$ 上一定存在，右端积分在 $Re\left ( s \right )\geqslant c_{1}>c$ 绝对收敛且一致收敛，并且在半平面 $Re\left ( s \right )>c$ 内， $F\left ( s \right )$ 为解析解。

微分性质：若 $F\left ( s \right )=\mathcal{L}\left ( f\left ( t \right ) \right )$ ，则有 $\mathcal{L}\left ( {f}'\left ( t \right ) \right )=sF\left ( s \right )-F\left ( 0 \right )$ 。

积分性质：若 $F\left ( s \right )=\mathcal{L}\left ( f\left ( t \right ) \right )$ ，则有 $\mathcal{L}\left ( \int_{0}^{t}f\left ( t \right ) dt\right )=\frac{1}{s}F\left ( s \right )$

一、频域分析

对于多自由度广义动力学方程，

$\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}$

两边实施Fourier变换，则有

$\mathcal{L}\left ( \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )$

进一步，对于线性系统，则简化为

$\boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\ddot{\boldsymbol{u}} \right )+\boldsymbol{C}\mathcal{L}\left (\dot{\boldsymbol{u}} \right )+\boldsymbol{K}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )$

进一步，利用Laplace变换的微分性质，则有

$\left (s ^{2} \boldsymbol{M} + s\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )+\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{u}}\left ( 0 \right )+\left ( s\boldsymbol{M}+\boldsymbol{C}\right )\boldsymbol{u}\left ( 0 \right )$

对于零初始条件，则有

$\left (s ^{2} \boldsymbol{M} + s\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )$

1.1 复模态分析

若不考虑外加激励，则有

$\left (s ^{2} \boldsymbol{M} + s\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\boldsymbol{0}$

可以看出，此问题实际上对应二次多项式特征值问题，需要考虑将其线性化，则有

$\left\{\begin{matrix} s\boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )+s\mathbf{C}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )+\boldsymbol{K}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathbf{0}\\ \boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right ) = s\boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\end{matrix}\right.$ ,

将上述写成矩阵形式，则有

$\begin{pmatrix} \boldsymbol{K} & \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & -\boldsymbol{M} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\end{pmatrix}=-s\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{M}\\ \boldsymbol{M} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\end{pmatrix}$

或

$\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{K}\\ -\boldsymbol{M} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\end{pmatrix}=-s\begin{pmatrix} \boldsymbol{M} & \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{M} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\end{pmatrix}$ 。

1.2 实模态分析

若不考虑外加激励与阻尼，则有

$\left (\boldsymbol{K}+s ^{2} \boldsymbol{M} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=0$

可以看出，此问题实际上对应二次多项式特征值问题，考虑矩阵 $\boldsymbol{K}$ 与矩阵 $\boldsymbol{M}$ 的正定性可知，

$s^{2}=-\frac{\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )^{T}\boldsymbol{K}\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )}{\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )^{T}\boldsymbol{M}\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )}<0$

因此， $s$ 是实部为零的纯虚数，可令 $\omega ^{2} = -s^{2}$ ，即有

$\left (\boldsymbol{K}-\omega ^{2} \boldsymbol{M} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=0$

二、时域分析

参考文献

Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.
徐树方. 数值线性代数(第二版). 北京大学出版社, 2010.
F. Tisseur and K. Meerbergen. The Quadratic Eigenvalue Problem. SIAM Review, 43 (2001), 235-286.
张元林. 积分变换.
胡少伟. 结构振动理论及其应用.
王勖成. 有限单元法