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数学之三角函数

news 2024/10/26 13:08:55

小时候总是听别人讲甚么三角函数，感觉十分高大上，像是很深奥的知识。

今天我来讲解一下三角函数，首先就是概念了。

三角函数的概念（初中）（入门难度）

三角函数顾名思义就属于函数。那么它和三角有什么关系呢？这就要提到它的概念了

三角函数简介

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

一般来说，人尽皆知的三角函数有三种：

Sin

全称叫 Sine，也叫正弦函数，它指的是在直角三角形中的角(这个角不能是直角)所对应的对边与斜边的比值 $a:b = \frac{a}{b}$ 打不了中文，用a代表对边，b代表斜边。在sin后面加上角度来表示是对哪一个角求正弦值。例如 $\sin \theta$ 。

Cos

全称叫Cosine，也叫余弦函数，它指的是在直角三角形中的角(这个角不能是直角)所对应的邻边与斜边的比值 $c:b = \frac{c}{b}$ 用c代表邻边，b代表斜边。在cos后面加上角度来表示是对哪一个角余正弦值。例如 $\cos \theta$ 。

Tan

全称叫Tangent，也叫正切函数，它指的是在直角三角形中的角(这个角不能是直角)所对应的对边与邻边的比值 $a:c = \frac{a}{c}$ 用c代表邻边，a代表对边。在tan后面加上角度来表示是对哪一个角求正切值。例如 $\tan \theta$ 。

这就是三个基本的三角函数，还有一些三角函数不常用，如：Cot Sec Csc

~~这里就不介绍了，各位自己查吧！~~

还是介绍一下吧。

Cot

全称叫Coangent，也叫余切函数，它指的是在直角三角形中的角(这个角不能是直角)所对应的邻边与对边的比值 $c:a = \frac{c}{a}$ 用c代表邻边，a代表对边。在cot后面加上角度来表示是对哪一个角求余切值。例如 $\cot \theta$ 。

Sec

全称叫Secant，也叫正割函数，它指的是在直角三角形中的角(这个角不能是直角)所对应的斜边与邻边的比值 $b:c = \frac{b}{c}$ 用c代表邻边，b代表斜边。在sec后面加上角度来表示是对哪一个角求正割值。例如 $\sec \theta$ 。

Csc

全称叫Cosecant，也叫余割函数，它指的是在直角三角形中的角(这个角不能是直角)所对应的斜边与对边的比值 $b:a = \frac{b}{a}$ 用a代表对边，b代表斜边。在sec后面加上角度来表示是对哪一个角求余割值。例如 $\csc \theta$ 。

注：文中c代表邻边，b代表斜边，a代表对边

附：

三角函数的概念(高中)!!!（简单难度）

想知道为什么要写上高中和初中吗？那就认真往下看吧！

图片：

这张图片是所有三角函数的高中概念（这个圆必须半径为一）

高中的概念相较于初中而言有一个优势：

可以计算负角度和超过180度的角度

三角函数诱导公式（普通难度）

诱导公式一

$\sin \left ( 2k\pi +\alpha \right ) = \sin \alpha$

$\cos \left ( 2k\pi +\alpha \right ) = \cos \alpha$

$\tan \left ( 2k\pi +\alpha \right ) = \tan \alpha$

$\cot \left ( 2k\pi +\alpha \right ) = \cot \alpha$

注意： $k\in Z$

诱导公式二

$\sin \left(\pi +\alpha \right) = -\sin \alpha$

$\cos \left(\pi +\alpha \right) = -\cos \alpha$

$\tan \left(\pi +\alpha \right) = \tan \alpha$

$\cot \left(\pi +\alpha \right) = \cot \alpha$

诱导公式三

$\sin (-\alpha) = -\sin \alpha$

$\cos (-\alpha) = \cos \alpha$

$\tan (-\alpha) = -\tan \alpha$

$\cot (-\alpha) = -cot \alpha$

诱导公式四

$\sin (\pi -\alpha ) = \sin \alpha$

$\cos (\pi -\alpha ) = -\cos \alpha$

$\tan (\pi -\alpha ) = -\tan \alpha$

$\cot (\pi -\alpha ) = -\cot \alpha$

诱导公式五

$\sin (2\pi-\alpha) = -\sin \alpha$

$\cos (2\pi-\alpha) = \cos \alpha$

$\tan (2\pi-\alpha) = -\tan \alpha$

$\cot (2\pi-\alpha) = -cot \alpha$

诱导公式六

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} +\alpha) = -\sin\alpha$

$\tan(\frac{\pi}{2} +\alpha) = -\cot \alpha$

$\cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan \alpha$

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$

$\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$

$\cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan \alpha$

$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) =-cos\alpha$

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) =\sin\alpha$

$\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) =-\cot\alpha$

$\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \tan \alpha$

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos\alpha$

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) =-\sin\alpha$

$tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) =cot\alpha$

$\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) =tan\alpha$

这还不够难吗？最精彩的来了：

三角函数其他公式(内容超多)

正片开始

两角和公式

$\sin\left(\alpha+\beta \right ) = \sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$

$\sin\left(\alpha-\beta \right ) = \sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$

查看全文

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