fpga系列 HDL: 竞争和冒险 01

• 卡诺图是一种逻辑化简工具，用来在布尔函数的最小项和形式中，找到冗余项并实现逻辑化简。也可用于HDL中竞争和冒险的判断。

最小项

• 任何一个逻辑函数都能化简为最小项的和的形式
• 对于 n 个变量的布尔表达式，每个变量都必须以原变量（如A）或非变量（即否定的形式A’）出现，且在每个最小项中只能出现一次。每个最小项代表一个特定的输入组合。
• 例：假设有两个变量 $A$ 和 $B$，则最小项可以表示为：

$$A^{\prime }{B}^{\prime }:\text{对应 }(A,B)=(0,0)$$

$$A^{\prime }B:\text{对应 }(A,B)=(0,1)$$

$$A{B}^{\prime }:\text{对应 }(A,B)=(1,0)$$

$$AB:\text{对应 }(A,B)=(1,1)$$

格雷码

格雷码（Gray Code）是一种特殊的二进制编码，每相邻两个数之间只有一个位发生变化。格雷码的这种特性在某些应用中可以减少误差和干扰，因此被广泛用于数字电路设计、编码器、存储器地址生成、错误校验等领域。

• 格雷码可以循环排列，即从最大值到最小值过渡时也只有一个位变化。

• n 位的格雷码可以通过以下递归方式生成：

  • 0 位格雷码：$\text{G}(0)=[0]$
  • 1 位格雷码：$\text{G}(1)=[0,1]$
  • n 位格雷码：将 n-1 位格雷码的所有数按顺序排列，然后将 n-1 位格雷码的所有数按逆序排列。然后在第一个排列前加 0，在第二个排列前加 1。

• 2 位格雷码生成过程：

  • 从 1 位格雷码 $[0,1]$ 开始。
  • 正序排列：[0, 1]，在前面加 0 得到 $[00,01]$。
  • 逆序排列：[1, 0]，在前面加 1 得到 $[11,10]$。
  • 合并得出 2 位格雷码为$[00,01,11,10]$。

• 3 位格雷码生成类似：

  • 正序排列：[00, 01, 11, 10]，前面加 0 得到 $[000,001,011,010]$。
  • 逆序排列：[10, 11, 01, 00]，前面加 1 得到 $[110,111,101,100]$。
  • 合并得到 3 位格雷码为 $[000,001,011,010,110,111,101,100]$。

• 二进制到格雷码的转换:一个给定的二进制数可以通过以下公式转换为格雷码：

  • 对于二进制数 $B=B_{n-1}{B}_{n-2}\dots B_1{B}_0$，相应的格雷码 $G=G_{n-1}{G}_{n-2}\dots G_1{G}_0$ 可以表示为：
  • $G_{n-1}=B_{n-1}$
  • $G_i=B_i\oplus B_{i+1}$（对相邻位进行异或操作）

卡诺图与最小项的表示

• 卡诺图是一种将布尔函数的最小项排列在网格上的方法，可以更直观地找到可以合并的最小项。卡诺图中的每个方格代表一个最小项，而方格的排列顺序遵循格雷码，相邻的方格之间仅有一个变量变化。

在卡诺图中，相邻的1最小项可以合并为一个更简化的项。例如：

• 两个相邻的最小项可以合并为一个二变量的项。
• 四个相邻的最小项可以合并为一个一变量的项。
• 八个相邻的最小项可以简化为一个常数项。

卡诺图在最小项和表达式中的应用

• 通过卡诺图，可以将最小项的和形式转换成更简化的逻辑表达式，步骤如下：

1. 标记最小项：在卡诺图中标记所有输出为1的最小项。
2. 寻找合并区域：将相邻的1组成成组的区域，尽可能合并更多的相邻项（如2的幂次个：2、4、8等）。
3. 写出化简表达式：合并后的区域直接写出更简单的逻辑表达式。例如，四个相邻的最小项可以写成一个没有变化变量的项。
4. 得到简化的SOP表达式：最终通过卡诺图的合并过程得到逻辑函数的最简化 SOP 表达式。

举例说明

假设一个布尔函数$F(A,B,C)$ 的最小项和为：

$$F(A,B,C)=m_1+m_3+m_5+m_7$$

• 在三变量的卡诺图中标记出$m_1,m_3,m_5,m_7$ 所对应的格子，并进行合并，得出最简化的表达式

• $F(A,B,C)=m_1+m_3+m_5+m_7$

• $F(A,B,C)$中任意相邻的两项可以消掉一个变量，比如$m_1$和$m_3$相邻,$m_1+m_3=(A^{\prime }{B}^{\prime }C)+(A^{\prime }BC)=A^{\prime }(B^{\prime }+B)C=A^{\prime }C$

• 同样$m_5+m_7=(A{B}^{\prime }C)+(ABC)=A^{\prime }(B^{\prime }+B)C=AC$

• $F(A,B,C)=C$

• 使用卡诺图时，圈出这四个最小项，可发现，这四个最小项可以被一个2x2的方块覆盖。所以 $m_1+m_3+m_5+m_7$ 可以简化为 $C$（因为四个相邻的最小项可以合并为一个一变量的项,且所有这些项都有$C$的出现）

CG

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