背包九讲——混合背包问题
背包问题第四讲——混合背包问题
背包问题是一类经典的组合优化问题，通常涉及在限定容量的背包中选择物品，以最大化某种价值或利益。问题的一般描述是：有一个背包，其容量为C；有一组物品，每个物品有重量w和价值v。目标是选择一些物品放入背包，使得它们的总重量不超过背包容量，同时总价值最大。
混合背包问题则是既有01背包、多重背包和完全背包，混合背包的物品特征是这三个或者两个背包特征的综合。
混合背包问题
混合背包问题是一类组合优化问题，它结合了01背包问题、完全背包问题和多重背包问题的特点。在混合背包问题中，有多种物品和一个固定容量的背包，每种物品有自己的重量和价值，并且每种物品可能有使用次数的限制。
三类背包：
具体来说，混合背包问题中的物品可以分为三类：
- 第一类物品只能用1次（01背包）；
- 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
- 第三类物品最多只能用si次（多重背包）。
目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品装入背包，使得物品总价值最大。
问题定义：
混合背包问题是背包问题的另一种变体，结合了0/1背包、多重背包和完全背包的特点。在混合背包问题中，每种物品可以选择放入背包的次数是有限的，而且也可以选择放入的数量是无限的。
问题的描述如下：
给定一个背包容量为m，有n种物品，每种物品有重量v[i]、价值w[i]、以及数量s[i]。其中，s[i]表示第i种物品的数量限制。目标是选择物品放入背包，使得它们的总重量不超过背包容量，并且总价值最大。
解决方法：
解决混合背包问题的方法需要考虑每种物品的数量限制。可以将问题拆分为若干个子问题，对于每种物品分别处理。可以采用动态规划的方法，类似于多重背包问题，但需要考虑不同物品的数量限制。一种常见的方法是将每种物品拆分成多个子物品，其中每个子物品对应放入背包的数量。然后，可以使用类似于多重背包问题的解法来处理这个扩展后的问题。
总体而言，解决混合背包问题需要综合考虑每种物品的多重性和数量限制，选择适当的方法进行求解。
这个多重背包无非就是01背包、多重背包、完全背包混合起来罢了，根据是什么背包，分类讨论就好了，当s==-1的时候就是01背包，当s==0的时候就是完全背包，当s>0的时候就是多重背包，三个if判断便可以分类解决，对前面01背包、多重背包、完全背包不熟悉的可以看一下我之前写的博客，这里不再详细讲解。
我们根据分类讨论解决01背包、多重背包、完全背包问题，通常使用动态规划的方法。动态规划的关键在于定义状态和状态转移方程。对于混合背包问题，可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示考虑前i种物品，背包容量为j时的最大价值。
状态转移方程需要根据物品的使用限制来确定：
- 对于01背包问题，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])，其中v[i]和w[i]分别是第i种物品的体积和价值。
- 对于完全背包问题，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-v[i]] + w[i])。
- 对于多重背包问题，需要遍历物品的使用次数，更新状态转移方程。
代码实现：
这里01背包动态规划、多重背包的二进制解法、完全背包的动态规划方法为例，进行C++实现。如果考虑优化可以看一下多重背包的单调队列解法。
题目以这个为例，可以去提交验证：7. 混合背包问题 - AcWing题库
#include<iostream>
using namespace std;
int v[1005],w[1005],s[1005];//s[i]表示物品特性，是01还是多重还是完全
int n,m;
int dp[10005],vis[10005];//vis[i]==1表示第i个物品是完全背包，==0表示01背包
int v1[10005],w1[10005];//最终转换成的01背包和完全背包
int main(){int index=0;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];}for(int i=1;i<=n;i++){if(s[i]==0){//完全背包问题vis[++index]=1;v1[index]=v[i];w1[index]=w[i];continue;}if(s[i]==-1){//01背包问题v1[++index]=v[i];w1[index]=w[i];continue;}//多重背包问题for(int j=1;j<=s[i];j<<=1){s[i]-=j;v1[++index]=j*v[i];w1[index]=j*w[i];}if(s[i]){v1[++index]=s[i]*v[i];w1[index]=s[i]*w[i];s[i]=0;}}for(int i=1;i<=index;i++){if(vis[i]==1){//完全背包for(int j=v1[i];j<=m;j++){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v1[i]]+w1[i]);}}else{//01背包for(int j=m;j>=v1[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v1[i]]+w1[i]);}}}cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}上一篇文章完全背包问问题：背包九讲——完全背包问题-CSDN博客
背包问题是经典之经典，每一位算法入门学者必学的内容，里面的优化涉及到的也非常具有思维性，值得大家好好学习。由于笔者水平有限，一些方面可能也存在着问题，望大家理解支持，有错误就指出改正，大家一起进步，执笔至此，感触彼多，全文将至，落笔为终，感谢各位的支持，下篇更新二维费用背包问题。