leetcode:输入m,n(1 < m < n < 1000000),返回区间[m,n]内的所有素数的个数
题目:
输入m,n(1 < m < n < 1000000),返回区间[m,n]内的所有素数的个数。
题解:
要计算区间 [m,n] 内的所有素数的个数,我们可以使用一种高效的素数判定方法,如“埃拉托斯特尼筛法”(Sieve of Eratosthenes)。然而,由于 m 和 n 的范围可能非常大(最大到 1000000),直接对 [1,n] 使用埃拉托斯特尼筛法可能不够高效。因此,我们可以对 [m,n] 进行一个局部筛选。
埃拉托斯特尼筛法:基本原理
埃拉托斯特尼筛法的基本思想是通过标记合数来筛选素数。一个合数,必然可以表示成一个自然数i和一个素数的乘积。因此,找到一个素数后,可以将其小于n的倍数全部标记为合数。最终,未被标记的数即为素数。
具体来说,要得到自然数n以内的全部素数,必须把不大于√n的所有素数的倍数剔除。这是因为一个合数一定可以分解为两个因数的乘积,其中至少有一个因数不大于其平方根。
埃拉托斯特尼筛法:算法步骤
- 初始化一个布尔数组is_prime,标记所有大于等于2且小于等于n的数为素数(即is_prime[i]初始化为True)。
- 从2开始,找到下一个未被标记为非素数的数p,将其标记为素数(即确认is_prime[p]为True)。
- 将该素数的倍数(除了该素数本身)标记为非素数(即将is_prime[p的倍数]设置为False)。
- 重复步骤2和步骤3,直到找不到更大的素数。
- 最终,未被标记为非素数的数即为素数。
def count_primes_in_range(m, n):if m < 2:m = 2sqrt_n = int(n ** 0.5) + 1is_prime = [True] * (sqrt_n + 1)p = 2while (p * p <= sqrt_n):if is_prime[p]:for i in range(p * p, sqrt_n + 1, p):is_prime[i] = Falsep += 1is_prime_in_range = [True] * (n - m + 1)for p in range(2, sqrt_n + 1):if is_prime[p]:start = max(p * p, (m + p - 1) // p * p)for j in range(start, n + 1, p):if j >= m:is_prime_in_range[j - m] = Falseprime_count = sum(is_prime_in_range)return prime_countif __name__ == '__main__':m = int(input("输入m(请确保1 < m < n < 1000000): "))n = int(input("输入n(请确保1 < m < n < 1000000): "))prime_count = count_primes_in_range(m, n)print(prime_count)