（自用复习题）常微分方程06

题目来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社

书中习题2.3

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两题连着

9.

$$M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$$

设 $\mu (x,y)$ 是此方程的积分因子，从而可求得 $U(x,y)$ 使得 $\mathrm{d}U=\mu (M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)$

试证 $\tilde{\mu }(x,y)$ 也是该方程的积分因子的充要条件是 $\tilde{\mu }(x,y)=\mu \phi (U)$ ，其中 $\phi (t)$ 是 $t$ 的可微函数

充分性

由 $\mathrm{d}U=\mu (M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)$ 和 $\tilde{\mu }(x,y)=\mu \phi (U)$

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial (\tilde{\mu }M)}{\partial y}-\frac{\partial (\tilde{\mu }N)}{\partial x}\\ & =\tilde{\mu }\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)+\left(M\frac{\partial \tilde{\mu }}{\partial y}-N\frac{\partial \tilde{\mu }}{\partial x}\right)\\ & =\mu \phi (U)\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)+M\left(\frac{\partial \mu }{\partial y}\phi (U)+{\mu }^2{\phi }^{\prime }(U)N\right)-N\left(\frac{\partial \mu }{\partial x}\phi (U)+{\mu }^2{\phi }^{\prime }(U)M\right)\\ & =\phi (U)\left[\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}-\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}\right]+{\mu }^2{\phi }^{\prime }(U)(MN-NM)\end{array}$$

因为 $\mu$ 是方程的积分因子，所以 $\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$ ，代入上式得

$$\frac{\partial (\tilde{\mu }M)}{\partial y}\equiv \frac{\partial (\tilde{\mu }N)}{\partial x}$$

所以 $\tilde{\mu }$ 也是方程的积分因子

必要性

因为 $\mu ,\tilde{\mu }$ 是方程的积分因子，所以

$$\mu (M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)=\mathrm{d}U,\tilde{\mu }(M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)=\mathrm{d}V$$

函数 $U,V$ 的雅可比行列式如下

$$\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial U}{\partial x}& \frac{\partial U}{\partial y}\\ \frac{\partial V}{\partial x}& \frac{\partial V}{\partial y}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mu M& \mu N\\ \tilde{\mu }M& \tilde{\mu }M\end{array}\right|\equiv 0$$

因此 $U,V$ 彼此相关，即存在函数 $\varphi$ 使得 $V=\varphi (U)$ ，于是

$$\tilde{\mu }(M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)=\mathrm{d}V=\mathrm{d}\varphi (U)={\varphi }^{\prime }(U)\mathrm{d}U={\varphi }^{\prime }(U)\mu (M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)$$

即 $\tilde{\mu }={\varphi }^{\prime }(U)\mu$ ，记 $\phi ={\varphi }^{\prime }$ ，则 $\tilde{\mu }=\mu \phi (U)$

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10.

设 ${\mu }_1(x,y),{\mu }_2(x,y)$ 是方程 $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 的两个积分因子，且 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\not\equiv 常数$ ，求证 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=c$ （$c$ 为任意常数）是此方程的通解

证

由积分因子定义 ${\mu }_2(M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)=\mathrm{d}U=0$ ，得 $U(x,y)=c$ （$c$ 为任意常数）

由上一题结论知，有 ${\mu }_1={\mu }_2\phi (U)$ ，所以 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=\phi (U)$

令 $\phi (U)=c$ （任意常数）有

$$0\equiv \mathrm{d}\phi (U)\equiv {\phi }^{\prime }(U)\mathrm{d}U\equiv {\phi }^{\prime }(U){\mu }_2(M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y)$$

因为 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\not\equiv 常数$ ，所以 ${\phi }^{\prime }(U)\not\equiv 0$ ，且 ${\mu }_2\not\equiv 0$

所以 $M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y=0$

即 $\phi (U)=c$ 是此方程的解