PLL锁相环带宽定义，以及PI参数自动整定

PLL 带宽调整和 PI 参数设计

要将锁相环（PLL）的带宽调整到 200 Hz，我们需要重新设计 PI 控制器的参数 $K_{\text{PLLp}}$ 和 $K_{\text{PLLi}}$。下面是详细的步骤：

1. 确定锁相环的自然频率和阻尼比

对于二阶系统，闭环传递函数可以表示为：

$$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

其中：

• ${\omega }_n$ 是自然频率
• $\zeta$ 是阻尼比

2. 将原始传递函数与标准形式对比

从你的代码中，PLL 的开环和闭环传递函数为：

开环传递函数：

$$G_{\mathrm{PLLK}}(s)=\frac{K_{\mathrm{PLLp}}s+K_{\mathrm{PLLi}}}{s^2}$$

闭环传递函数：

$$G_{\mathrm{PLLB}}(s)=\frac{G_{\mathrm{PLLK}}(s)}{1+G_{\mathrm{PLLK}}(s)}=\frac{K_{\mathrm{PLLp}}s+K_{\mathrm{PLLi}}}{s^2+K_{\mathrm{PLLp}}s+K_{\mathrm{PLLi}}}$$

将其与标准二阶系统的传递函数对比，我们得到：

$$\frac{K_{\mathrm{PLLp}}s+K_{\mathrm{PLLi}}}{s^2+K_{\mathrm{PLLp}}s+K_{\mathrm{PLLi}}}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

3. 匹配系数，得到参数关系

比较分母，得到：

• $K_{\mathrm{PLLi}}={\omega }_n^2$
• $K_{\mathrm{PLLp}}=2\zeta {\omega }_n$

然而，分子部分并不完全匹配。为了简化设计，我们可以忽略 $K_{\mathrm{PLLp}}s$ 项对分子的影响（通常 $K_{\mathrm{PLLp}}s$ 在高频时起作用，但在闭环特性中，分子主要由 $K_{\mathrm{PLLi}}$ 决定）。

4. 计算自然频率和阻尼比

为了使带宽为 200 Hz，首先计算自然频率 ${\omega }_n$。

对于二阶系统，当阻尼比 $\zeta =0.707$ 时，带宽 $BW$ 与自然频率的关系近似为：

$$BW\approx {\omega }_n$$

因此：

$${\omega }_n=2\pi \times BW=2\pi \times 200\text{rad/s}=1256.64\text{rad/s}$$

5. 计算 PI 控制器参数

• 积分增益：

  $$K_{\mathrm{PLLi}}={\omega }_n^2=(1256.64{)}^2\approx 1.58\times 10^6$$

• 比例增益：

  $$K_{\mathrm{PLLp}}=2\zeta {\omega }_n=2\times 0.707\times 1256.64\approx 1776.96$$

6. 更新代码

将计算得到的参数替换到你的代码中：

clc
KPLLp = 1776.96; % 更新后的比例增益
KPLLi = 1.58e6;  % 更新后的积分增益% 频率向量
fvec = logspace(0, 4, 10000);
GPLLB = zeros(1, length(fvec)); % 预分配空间for k = 1:length(fvec)fre1 = fvec(k);s = 1i * 2 * pi * fre1; % 复频率GPLLK = (KPLLp * s + KPLLi) / s^2; % 开环传递函数GPLLB(k) = GPLLK / (1 + GPLLK);    % 闭环传递函数
end% 绘制幅值和相位图（保持原有代码）
subplot(2, 1, 1);
semilogx(fvec, 20 * log10(abs(GPLLB)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude (dB)');subplot(2, 1, 2);
semilogx(fvec, angle(GPLLB) * 180 / pi, 'k', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Phase (degrees)');

7. 验证带宽

运行代码并观察幅频响应图，确认在 200 Hz 处幅值下降了 3 dB，确保设计满足要求。

8. 调整阻尼比（可选）

如果对系统的超调量或响应速度有特定要求，可以调整阻尼比 $\zeta$ 并重新计算 $K_{\mathrm{PLLp}}$：

• 增加 $\zeta$ 会提高系统的阻尼，减少超调，但可能降低响应速度。
• 减小 $\zeta$ 会降低系统的阻尼，增加超调，但可能提高响应速度。

结论

通过上述步骤，我们使用正确的 PLL 开环和闭环传递函数，重新计算了 PI 控制器的参数，使得锁相环的带宽调整为 200 Hz。请根据实际需求，运行代码并进行进一步的验证和调整。

完整代码

% 目标带宽
f_BW_target = 200;  % Hz
% 阻尼比
zeta = 0.707;
% 频率范围
frequencies = logspace(0, 4, 1000);  % 从 10 Hz 到 100 kHz
% 初始化变量
omega_n_guess = 2*pi*f_BW_target;  % 初始猜测
tolerance = 1e-6;  % 容差
error = 1;
max_iter = 100;
iter = 0;
while error > tolerance && iter < max_iteriter = iter + 1;% 计算 KPLLp 和 KPLLiKPLLp = 2*zeta*omega_n_guess;KPLLi = omega_n_guess^2;% 定义频率向量fvec = frequencies;% 计算闭环传递函数在每个频率下的值GPLLB = zeros(1, length(fvec));for k = 1:length(fvec)fre1 = fvec(k);s = 1i*2*pi*fre1; % 复频率GPLLB(k) = (KPLLp*s + KPLLi) / (s^2 + KPLLp*s + KPLLi);end% 计算幅度（以 dB 为单位）和相位（以度为单位）mag_db = 20 * log10(abs(GPLLB));phase_deg = angle(GPLLB) * 180 / pi;% 找到幅值下降 -3 dB 的频率[~, idx] = min(abs(mag_db + 3));f_BW_actual = frequencies(idx);% 计算误差error = abs(f_BW_actual - f_BW_target) / f_BW_target;% 调整 omega_n_guessomega_n_guess = omega_n_guess * (f_BW_target / f_BW_actual);
end
if iter >= max_iterwarning('迭代未能在最大次数内收敛。');
end
fprintf('计算得到的参数：\n');
fprintf('KPLLp = %f\n', KPLLp);
fprintf('KPLLi = %f\n', KPLLi);
fprintf('实际带宽 = %f Hz\n', f_BW_actual);
% 获取目标带宽和实际带宽处的幅值和相位
% 在频率数组中找到最接近目标带宽和实际带宽的索引
[~, idx_target] = min(abs(frequencies - f_BW_target));
[~, idx_actual] = min(abs(frequencies - f_BW_actual));
% 对应的幅值和相位
mag_target = mag_db(idx_target);
phase_target = phase_deg(idx_target);
mag_actual = mag_db(idx_actual);
phase_actual = phase_deg(idx_actual);
% 绘制幅频响应和相频响应
figure;
% 绘制幅频响应
subplot(2,1,1);
semilogx(frequencies, mag_db, 'b');
title('传递函数的幅频响应');
xlabel('频率 [Hz]');
ylabel('幅值 [dB]');
grid on;
hold on;
% 在目标带宽和实际带宽处添加标记点
plot(f_BW_target, mag_target, 'ro', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['目标带宽 = ' num2str(f_BW_target) ' Hz']);
plot(f_BW_actual, mag_actual, 'gs', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['实际带宽 = ' num2str(f_BW_actual, '%.2f') ' Hz']);
% 添加 -3 dB 水平线
yline(-3, 'k--', '-3 dB 点', 'LineWidth', 1);
legend('幅频响应', '目标带宽', '实际带宽', '-3 dB 点');
hold off;
% 绘制相频响应
subplot(2,1,2);
semilogx(frequencies, phase_deg, 'b');
title('传递函数的相频响应');
xlabel('频率 [Hz]');
ylabel('相位 [度]');
grid on;
hold on;
% 在目标带宽和实际带宽处添加标记点
plot(f_BW_target, phase_target, 'ro', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['目标带宽 = ' num2str(f_BW_target) ' Hz']);
plot(f_BW_actual, phase_actual, 'gs', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['实际带宽 = ' num2str(f_BW_actual, '%.2f') ' Hz']);
legend('相频响应', '目标带宽', '实际带宽');
hold off;