变换器交流模型建模方法

PWM变换器小信号交流模型建模的主要步骤为：

（1）利用开关周期平均算子建立电感、电容波形低频平均值的关系，得到大信号模型；

（2）平均方程的小信号扰动和线性化；

（3）小信号交流等效电路的建立。

1大信号模型

1.1根据电路模态得到特征方程

以下图buck-boost电路为例进行分析。

首先测定电感、电容的电压和电流波形。当开关在位置1时，简化电路如下。

电感电压和电容电流为：

当开关在位置2时，简化电路如下。

电感电压和电容电流为：

1.2电感和电容波形的平均

我们首先推导出控制电感波形的平均分量如何随时间演化的方程。可知瞬时电感电流和电压关系为：

先推导出平均电感电流的关系式：

在方程的右边，因为电感电流连续和它的导数 vL(t)/L 在积分期间内有有限个不连续点，我们可以交换微分和积分的顺序。因此，上述方程变为：

联立上述三式，最终可得：

重新整理可得：

这结果表明电感电压和电感电流的直流成分满足下述定义式：

其中，电感值L未发生改变，且无额外部分。

通过相同的方法，可得电容电压和电容电流的直流成分之间存在的关系为：

接下去需要通过电感电压和电容电流的平均值波形求解上述两个方程的右侧。

buck-boost电路的电感电压和电流波形如下图所示。

如果电路的固有频率比开关频率慢得多，那么实际电感电流和电容电压波形中的波纹很小，近似有效。

使用小纹波近似法，可以得电感电压在长度为 dTs 的子区间内的表达式为：

用相同的方法，在剩下的总长度为 d¢Ts 的子区间内，可以得到电感电压的表达式为：

因此，平均电感电压为：

代入下式：

可得：

上述方程描述了电感电流的低频成分随时间变化情况。

使用相同的步骤得到电容动态方程。电容电压和电流波形如下图所示。

当开关在位置1时，电容电流表达式为：

当开关在位置2时，电容电流表达式为：

平均电容电流可以通过对上两式使用平均法得到，结果为：

将平均法得到的电容值表达式代入下式：

并合并同类项可得：

这是描述直流和低频交流电容电压变化的基本平均方程。

1.3输入电流平均

有必要写一个额外的方程来对转换器输入电流的直流分量进行建模。这使得转换器的输入端能通过直流等效电路来进行建模。这里必须遵循类似的步骤，以便转换器输入端口的低频变化由交流等效电路进行建模。

buck-boost变换器的输入电流的表达式为：

输入电流波形如下所示。

对输入电流在一个开关周期内取平均值可得：

这是描述直流和低频交流转换器输入电流变化的基本平均方程。

2小信号扰动和线性化

由小节1中分析可得buck-boost转换器的平均方程为：

这些平均方程涉及时变量的乘法，因此是非线性的。如拉普拉斯变换和其他频域分析法等大多数交流电路分析方法，对非线性系统不适用。所以需要通过构建小信号模型对上式进行线性化。

假设我们以稳态或静态的方式来驱动变换器，占空比d(t)=D，静态输入电压vg(t)=Vg。从稳态分析可知在任何的暂态消除后，电感电流<i(t)>Ts，电容电压<v(t)>Ts，和输入电流<ig(t)>Ts将分别达到稳态值I，V和Ig，其中：

为了在稳态工作点(I,V)上构造一个交流小信号模型，假设输入电压vg(t)和占空比d(t)等于给定的稳态值Vg和D，再叠加一些的交流变化量 ，即：

假设交流变化量数值上远小于直流稳态值，即：

则可以实现buck-boost转换器平均方程的线性化。得到电感方程为：

应该注意的是，占空比的补量为：

其中，D¢=1-D。在d¢(t)的表达式中出现了负号，因为d(t)的变化使得d(t)增加，导致d¢(t)减少。通过对电感方程进行化简可得：

因为I是直流(常数)项，故导数为零。为了得到小信号交流模型，可以认为直流项是已知常数。在上式的右侧，出现了三种类型的项：

直流项：这些项只包含直流量。

一阶交流项：所有这些项均包含一个交流量，通过乘以一个例如直流量的常数系数。这些项是交流量的线性方程。

二阶交流项：这些项包含交流量的乘积，因此它们是非线性的。

希望忽略非线性交流项。在小信号假设下，每个二阶非线性项的幅值要比一个或多个线性一阶交流项的幅度小得多。

这是希望得到的结果：用于描述电感电流变化的小信号线性化方程。

可以用相同的方法得到线性化的电容方程，即：

简化可得：

忽略二阶项，注意到方程两边的直流项相等，我们再次得到一个线性化的一阶方程，只包含上式的一阶交流项：

这是描述电容电压变化的期望的小信号线性化方程。

最后，对平均输入电流方程进行线性化处理可得：

化简可得：

忽略二阶非线性项。方程两边的直流项相等。剩下的一阶线性交流项为：

这是描述变换器输入电流的低频交流分量的线性化小信号方程。

总之，开关变换器的非线性平均方程可以在一个静态工作点处线性化。变换器的独立输入被表示为恒定(直流)值，加上小的交流变化。作为响应，变换器的平均波形呈现类似的形式。如果交流变化的幅值足够小，那么非线性项就比线性交流项小得多，因此可以忽略不计。其余的线性交流项即为变换器的小信号交流模型。

3小信号等效电路模型的建立

理想buck-boost变换器交流小信号模型的方程如下所示：

电容方程如下所示：

描述了流入与电容相连节点的电流。

该方程通过节点分析得到电容电流，电容电流方程对应的电路如下图所示。

最后，输入电流方程为：

用一个等效的理想变压器代替受控源，可得。

正弦波叠加在变压器符号上表明为理想变压器，并且是平均小信号交流模型的一部分。因此，连续导通模式 dc-dc 变换器的有效直流特性也会影响变换器信号中的小信号交流变化。上图所示的电路，可以使用传统的线性电路方法进行分析，得到变换器传递函数，输入和输出阻抗等。

• 同名端的定义

同名端指的是变压器两侧的电压同相，因此如果两侧电压同相，则两侧电流反相。如果两端电流方向相同，就可能会对变压器造成损坏。