leetcode动态规划（八）-不同的二叉搜索树

题目

96.不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

思路

题目一看很难有思路，先从1开始一步步看看少数节点时的情况

当n=1的时候

当n=2的时候

当n=3的时候

当1是头节点的时候，左子树是空的，右子树有两个节点2和3，这里2和3的布局是和n=2的时候布局是一样的

当2是头节点的时候，左子树只有1这个节点，右子树只有3这个节点

当3是头节点的时候，右子树是空的，左子树有1和2两个节点，这里1和2的布局是和n=2的时候布局是一样的

dp[3]就是头节点为1的二叉搜索树数量+头节点为2的二叉搜索树数量+头节点为3的二叉搜索树数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

接下来就是动规五步曲

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]表示第i个节点一共有dp[i]种不同的二叉搜索树

2.确定递推公式

dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]

3.dp数组如何初始化

其中dp[0]表示有0个节点，也是一种二叉树，可以等于1

4.确定遍历顺序

从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

5.举例推导dp数组

代码 

lass Solution:def numTrees(self, n: int) -> int:dp = [0]*(n+1)dp[0] = 1# dp[1] = 1# dp[2] = 2for i in range(1,n+1):for j in range(1,i+1):dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]return dp[-1]