高等数学 7.1 微分方程的基本概念

一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

一般地，$n$ 阶微分方程的形式是
$$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
这里必须指出，在方程 $(1)$ 中，$y^{(n)}$ 是必须出现的，而 $x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n-1)}$ 等则可以不出现。例如 $n$ 阶微分方程 $y^{(n)}+1=0$ 中，除 $y^{(n)}$ 外，$y$ 的其他阶导数和自变量 $x$ 都没出现。

如果能从方程 $(1)$ 中解出最高阶导数，那么可得微分方程
$$y^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n-1)})\text{\hspace{1em}(2)}$$

在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数 $y=\phi (x)$ 在区间 $I$ 上有 $n$ 阶连续导数，如果在区间 $I$ 上，
$$f[x,\phi (x),{\phi }^{\prime }(x),\cdots ,{\phi }^{(n)}(x)]\equiv 0$$
那么函数 $y=\phi (x)$ 就叫做微分方程 $(1)$ 在区间 $I$ 上的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映函数所代表的某一客观事物的规律性。要完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件。

设微分方程中的未知函数为 $y=\phi (x)$ ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是
$$x=x_0时，y=y_0$$
或写成
$${y|}_{x=x_0}=y_0$$
其中 $x_0,y_0$ 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是
$$x=x_0时,y=y_0,y^{\prime }=y_0^{\prime }$$
其中 $x_0,y_0和y_0^{\prime }$ 都是给定的值。上述这种条件叫做初值条件。

确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。

求微分方程 $y^{\prime }=f(x,y)$ 满足初值条件 ${y|}_{x=x_0}=y_0$ 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作
$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ {y|}_{x=x_0}=y_0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题 $(3)$ 的几何意义，就是求微分方程的通过点 $(x_0,y_0)$ 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题
$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime })\\ {y|}_{x=x_0}=y_0,{y^{\prime }|}_{x=x_0}=y_0^{\prime }\end{array}$$
的 几何意义，是求微分方程的通过点 $(x_0,y_0)$ 且在该点处的切线斜率为 $y_0^{\prime }$ 的那条积分曲线。

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