物理学基础精解【73】

连续介质

分子运动和自由程

分子运动

• 定义：分子运动，也被称为分子热运动，是指一切物质的分子都在不停地做无规则的运动。这种运动是微观的，肉眼无法直接观察，但可以通过一些表象来间接了解。
• 物理化学原理：分子热运动与温度密切相关，温度越高，分子的热运动就越剧烈。这种运动是构成物质的所有分子热运动的总和。分子的热运动具有永不停息性和无规则性两个特点，即分子永不停息地做无规则运动。
• 例子：扩散现象是分子无规则运动的一个直接证明。当两种不同物质接触时，它们的分子会彼此进入对方，形成均匀的混合物。温度越高，扩散现象越明显，说明分子运动越剧烈。

自由程

• 定义：自由程（free path）是物理学中的一个名词，指一个粒子（如分子）在与其他粒子发生碰撞之前可以自由运动的距离。在气体或液体中，分子会不断地与其他分子发生碰撞，而在两次碰撞之间，分子会沿着一定的路径自由移动，这段路径就是分子的自由程。
• 性质：自由程是在不断地无规则地改变着，其平均值叫做平均自由程（mean free path）。平均自由程是描述气体分子间相互作用的一个重要物理量。
• 物理化学原理：平均自由程的大小取决于分子的浓度、分子的直径以及分子的运动速度等因素。在气体中，分子间的距离较大，分子可以相对自由地移动，因此平均自由程较大。而在液体中，分子间的距离较小，分子间的相互作用较强，因此平均自由程较小。

分子运动的平均自由程

• 定义：分子运动的平均自由程是指分子在气体或液体中运动时，与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。

• 数学原理和数学公式：

  • 平均自由程与分子间碰撞频率及分子运动速度有关。当浓度增加或分子直径减小时，分子间碰撞频率增加，平均自由程减小。当温度增加时，分子运动速度增加，平均自由程也会增加。
  • 对于气体分子运动的平均自由程，可以根据分子间碰撞的概率来计算。考虑一个气体分子在单位时间内与周围分子发生的碰撞次数，可以用分子的体积与单位时间内碰撞次数的乘积来表示。这个体积称为碰撞体积。假设分子的直径为d，则两个分子之间的碰撞体积为πd²。假设单位体积内气体分子的数目为n，那么单位时间内一个分子完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²/4V，其中V为气体的体积。分子运动速度的分布函数称为速度分布函数或速度概率密度函数，用f(v)来表示。根据玻尔兹曼和麦克斯韦的理论，f(v)与速度v的关系为$f(v)=4\pi v^2(m/2\pi kT{)}^{(}3/2)\ast exp(-m{v}^2/2kT)$，其中m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。平均自由程λ可以通过碰撞体积与速度分布函数的积分来计算。当速度为v的分子在单位时间内完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²v * f(v)dv。所以，单位时间内分子完成的平均碰撞数为$\int (n\pi d^{2}v\ast f(v))dv$。根据定义，平均自由程为碰撞体积与平均碰撞数之比的倒数，即$\lambda =(4V/\pi d^2)/(\int (n\pi d^{2}v\ast f(v))dv)$。

• 例子：在标准状况下（温度为273K，压强为1.013×10^5Pa），氮气分子的平均碰撞频率为$1.2\times 10^{1}0$次/s，平均自由程为$3.8\times 10^{(}-8)m$。这说明气体分子相互碰撞非常频繁，即使在1μs时间内，也平均碰撞10次。

例题

• 例题1：如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程为原来的多少？

  • 解答：由于温度不变，分子的平均速度不变。当压强降为原值的一半时，单位体积内的分子数减少为原来的一半，因此分子间的碰撞频率也减少为原来的一半。根据平均自由程的定义和计算公式，平均自由程将增加为原来的两倍。

• 例题2：若压强保持不变，温度降为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由程又为原来的多少？

  • 解答：由于压强不变，单位体积内的分子数保持不变。但当温度降为原值的一半时，分子的平均速度减少为原来的一半，因此分子间的碰撞频率将减少为原来的1/4（因为碰撞频率与速度的平方成正比）。根据平均自由程的定义和计算公式，平均自由程将增加为原来的两倍。

综上所述，分子运动和自由程是物理学中描述物质微观运动状态的重要概念，它们具有明确的定义、性质、计算方法和物理化学原理。通过例题的学习，可以更好地理解和掌握这些概念在实际问题中的应用。

分子运动的平均自由程

平均自由程是指分子在两次碰撞之间平均能够自由移动的距离。以下是计算分子运动平均自由程的公式及其推导：

平均自由程的公式

对于气体分子，平均自由程（λ）可以通过以下公式计算：

$$\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\pi n{d}^2}$$

或者更一般地，考虑分子的速度分布，平均自由程可以表示为：

$$\lambda =\frac{4V}{\pi d^2{\int }_0^{\infty }nv\cdot f(v)dv}$$

其中：

• $\lambda$ 是平均自由程。
• $n$是单位体积内的分子数（分子密度）。
• $d$ 是分子的有效直径。
• $V$ 是气体的体积。
• $v$ 是分子的速度。
• $f(v)$是分子的速度分布函数，通常符合麦克斯韦-玻尔兹曼分布。

公式推导

1. 碰撞体积：
   考虑一个分子，其与周围分子发生碰撞的体积可以近似为一个以该分子为中心，直径为 $2d$的球体体积。因此，碰撞体积为 $\frac{4}{3}\pi (d{)}^3=\frac{4}{3}\pi d^3$。但是，我们关心的是两个分子之间的碰撞，所以实际的碰撞“截面”是球的一个切片，其面积为 (πd^2)。

2. 碰撞频率：
   单位时间内，一个分子与其他分子发生碰撞的次数可以表示为 $n$（分子密度）乘以每个分子所占的碰撞体积（实际上是碰撞截面乘以分子的平均速度，但在这里我们先只考虑碰撞截面）。然而，由于分子是在不断运动的，所以实际的碰撞频率还需要考虑分子的速度分布。

3. 平均自由程：
   平均自由程是分子在两次碰撞之间平均能够自由移动的距离。它可以通过分子的平均速度除以碰撞频率来计算。但是，由于碰撞频率本身与分子的速度有关，所以我们需要对速度进行积分，以考虑所有可能的速度。

4. 速度分布函数：
   分子的速度分布通常符合麦克斯韦-玻尔兹曼分布，这意味着大多数分子的速度都集中在平均值附近，而极少数分子的速度会非常高或非常低。

5. 积分计算：
   为了计算平均自由程，我们需要对速度分布函数进行积分，以找出所有分子速度下的平均碰撞频率。然后，我们可以将这个平均碰撞频率代入到平均自由程的公式中。

简化公式

在某些情况下，我们可以对公式进行简化。例如，如果假设所有分子的速度都相同（即不考虑速度分布），那么平均自由程就可以简化为：

$$\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\pi n{d}^2}$$

这个公式是在假设分子以平均速度运动，并且每次碰撞都是完全弹性碰撞的情况下得出的。然而，在实际情况下，分子的速度是有分布的，所以更一般的公式是考虑速度分布的积分形式。

综上所述，计算分子运动和自由程的公式涉及分子的速度分布、分子密度以及分子的有效直径。在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的公式和参数进行计算。

碰撞频率

是指气体分子在单位时间内平均发生碰撞的次数，它是反映气体分子运动活跃程度和理解气体性质的关键指标之一。碰撞频率的公式可以根据不同的定义和条件有多种形式，以下是一些常见的公式及其解释：

1. 基于分子密度、平均速度和碰撞截面的公式

这是最基本的碰撞频率公式，适用于气体分子间的碰撞：

$$Z=NvA$$

• $Z$ 是碰撞频率，单位是碰撞数每秒（collisions per second）。
• $N$ 是气体分子的数密度，即单位体积内的分子数，单位是分子数每立方米（molecules per cubic meter）。
• $v$ 是气体分子的平均速度，单位是米每秒（meters per second）。
• $A$ 是碰撞区域的面积，对于球形分子，可以近似为分子的有效碰撞截面，即 $\pi d^2$，其中 $d$ 是分子的直径。

2. 考虑麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布的公式

将分子的平均速度 $v$ 用麦克斯韦-玻尔兹曼分布来表示，可以得到更具体的公式：

$$Z=N{\left(\frac{8kT}{\pi m}\right)}^{1/2}\pi d^2$$

• $k$ 是玻尔兹曼常数，约为 $1.38\times 10^{-23}$焦耳每开尔文（Joules per Kelvin）。
• $T$ 是温度，单位是开尔文（Kelvin）。
• $m$ 是气体分子的质量，单位是千克（kg）。

3. 简化的碰撞频率公式

在某些情况下，为了简化计算，可以使用简化的碰撞频率公式，它直接给出了碰撞频率与分子直径、浓度和平均速率的关系：

$$Z=\sqrt{2}\pi d^{2}nv$$

• $n$ 是单位体积内的分子数，与 $N$ 含义相同，但单位可能不同（如分子数每立方厘米）。
• $v$ 是分子的平均速度。

4. 在等离子体鞘套中的碰撞频率公式

在等离子体鞘套中，电子、离子和中性粒子之间的碰撞频率可以用不同的公式来计算，这取决于碰撞粒子的种类和条件。例如，电子与其他粒子的碰撞频率可能与电子的运动速度、与电子碰撞的粒子数密度以及这些粒子的有效碰撞截面有关。

注意事项

• 在实际应用中，选择哪个公式取决于具体的物理情境和已知条件。
• 公式中的参数（如分子直径、分子质量、温度等）需要通过实验测量或理论计算获得。
• 碰撞频率不仅与分子的运动速度有关，还与分子的形状、大小以及它们之间的相互作用力等因素有关。因此，在计算碰撞频率时，需要考虑这些因素的综合影响。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布（Maxwell-Boltzmann distribution）

是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布，在物理学和化学中有广泛应用，尤其是在统计力学领域。以下是对麦克斯韦-玻尔兹曼分布的详细解释：

定义与背景

• 定义：麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个描述在特定温度下，气体分子或任何其他微观粒子运动速度的概率分布。它说明了在平衡状态下，处于一个特定速度范围内的粒子所占的比例。
• 命名：该分布以詹姆斯·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名，他们在统计力学和分子运动论方面做出了杰出贡献。

物理意义与应用

• 物理意义：麦克斯韦-玻尔兹曼分布是分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。它表明，在平衡状态下，气体分子的速度分布具有一定的规律性，即大多数分子的速度都集中在某个平均值附近，而速度极快或极慢的分子相对较少。
• 应用：该分布不仅适用于气体分子，还可以应用于其他微观粒子系统。它被广泛用于解释和预测气体分子的运动行为，以及计算气体分子的各种宏观性质。

数学公式

麦克斯韦-玻尔兹曼分布的数学公式为：

$$f(v)=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{v}^2{e}^{-\frac{m{v}^2}{2kT}}$$

其中：

• $f(v)$ 表示速度为 $v$ 的粒子所占的比例或概率密度。
• $m$ 是粒子的质量。
• $k$ 是玻尔兹曼常数，约为 $1.38\times 10^{(}-23)$ 焦耳每开尔文。
• $T$ 是系统的温度，单位是开尔文。
• $v$ 是粒子的速度。

性质与特点

• 概率分布：麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个连续的概率分布函数，它给出了在特定温度下，粒子速度的概率密度。
• 温度依赖性：分布的形状和参数取决于系统的温度。随着温度的增加，粒子的平均速度增加，分布曲线变得更宽更平坦。
• 非相对论性：麦克斯韦-玻尔兹曼分布是基于非相对论的假设推导出来的，因此它不能做出粒子的速度大于光速的概率为零的预言。

适用范围与限制

• 适用范围：麦克斯韦-玻尔兹曼分布适用于由大量不相互作用的粒子组成的、以碰撞为主的系统。在这些系统中，量子效应可以忽略不计。
• 限制条件：当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应，麦克斯韦-玻尔兹曼分布可能不再适用。此外，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的，这时麦克斯韦-玻尔兹曼分布也不适用。

综上所述，麦克斯韦-玻尔兹曼分布是统计力学中一个非常重要的概念，它描述了气体分子或其他微观粒子在特定温度下运动速度的概率分布。该分布不仅具有深刻的物理意义，还有广泛的应用价值。

参考文献

1. 文心一言