二分法（Bisection Method）求解方程 f(x)=0近似解（MATLAB）

二分法是一种基础的数值方法，适用于连续函数，并且可以在函数值在区间两端符号相反的情况下缩小解的区间，直到达到指定的精度（tol）。

1. 定义目标函数 f(x)

首先，函数 f(x) 被定义为： f(x) = x^3 - x - 1 通过 MATLAB 的匿名函数的方式实现：

f = @(x) x^3 - x - 1;

这里的 f=@(x) 定义了一个函数句柄，表示 f(x) 是关于变量 x 的函数。

2. 初始化参数

在代码中，我们指定了求解的区间 [a, b] 以及容差 tol：

a = 1;
b = 1.5;
tol = 0.001;

• a 和 b 分别是初始区间的左端点和右端点。
• tol 是算法停止的精度要求，即最终的区间长度为 b-a 小于这个值时停止迭代。

3. 调用二分法函数 ER（具体见后方）

[xc, k] = ER(a, b, f, tol);

这里 ER 函数是核心的二分法求解函数，返回两个值：

• xc: 近似解，即满足条件的区间中点。
• k: 二分法的迭代次数。

4. 打印结果

fprintf('近似解xc=%.3f\n', xc);
fprintf('二分法迭代次数k=%d\n', k);

这两行代码用于将计算结果输出到命令行，打印出近似解和迭代次数。

5. 二分法实现 (ER 函数)

function [xc, k] = ER(a, b, f, tol)k = 0;        % 初始化迭代次数fa = f(a);    % 计算 f(a) 的值while (b - a)/2 > tol  % 当区间长度的一半大于容差时继续迭代k = k + 1;  % 迭代次数加1xc = (a + b)/2;  % 计算区间中点fc = f(xc);      % 计算 f(xc) 的值if fc == 0       % 如果 f(xc) 刚好等于 0，直接返回break;elseif fa * fc < 0  % 若 f(a) 和 f(xc) 符号相反，则解在 [a, xc] 之间b = xc;    % 缩小区间右端点else            % 否则，解在 [xc, b] 之间a = xc;    % 缩小区间左端点fa = fc;   % 更新 f(a) 的值endendxc = (a + b)/2;  % 最终返回区间中点作为近似解
end

结果解释

运行代码后，会得到一个近似解 xc，即方程 f(x)=x3−x−1=0 在区间 [1, 1.5] 内的解。迭代次数 k 表示在达到容差 tol 所需的迭代步数。