【洛谷】P10499 开关问题 的题解

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高斯消元，感觉神奇啊。

因为书上思路都讲了，那我就来讲一下什么是高斯消元。

高斯消元法是一种线性代数中的基础求解技术，主要用于求解线性系统中的未知数，即矩阵方程组。这个方法的名字来源于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的工作。下面是基本的步骤：

1. 增广矩阵：首先将系数矩阵和常数项向量合并成增广矩阵，即原矩阵 $A$ 加上列向量 $b$，形成 $[A|b]$ 的形式。

2. 行变换：从左上角开始，对于每一行 $i$，如果当前元素非零，将其作为主元素（pivot）。若主元素位于其他行，通过初等行变换（如交换行、倍加行或倍减行）使其置顶且变为 $1$，以消除这一行下方的所有元素。

3. 消元过程：接着，依次用当前行除以其主元素，然后将结果乘以其他行以消除主元素位置以下的元素，直到整个矩阵变成阶梯形（主元素所在的行都是一系列 $0$ 和 $1$）。

4. 回带求解：最后，从最底部的非零行开始，根据消元过程中得到的比例关系，逐步回推计算出原始变量的值。第一行的最后一个元素就是第一个未知数的解，依此类推。

5. 检验解：将求得的解代入原方程组，检查是否满足所有方程，确保解的有效性。

高斯消元法不仅可以用于求解线性方程组，还广泛应用于矩阵求逆、特征值计算等场景。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x & (-x)
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
namespace fastIO {inline int read() {register int x = 0, f = 1;register char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();return x * f;}inline void write(int x) {if(x < 0) putchar('-'), x = -x;if(x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');return;}
}
using namespace fastIO;
int a[105], n, t, ans; 
int main() {//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);
//	cout.tie(0);t = read();while(t --) {n = read();for(int i = 1; i <= n; i ++) {a[i] = read();}for(int i = 1, j; i <= n; i ++) {j = read();a[i] ^= j;a[i] |= 1 << i;}int x, y;while(~scanf("%d%d", &x, &y) && x && y) {a[y] |= 1 << x;}ans = 1;for(int i = 1; i <= n; i ++) {for(int j = i + 1; j <= n; j ++) {if(a[j] > a[i]) {swap(a[i], a[j]);}}if(a[i] == 0) {ans = 1 << (n - i + 1);break;}if(a[i] == 1) {ans = 0;break;}for(int k = n; k; k --) {if(a[i] >> k & 1) {for(int j = 1; j <= n; j ++) {if(i != j && (a[j] >> k & 1)) {a[j] ^= a[i];}}break;}}}if(ans == 0) {cout << "Oh,it's impossible~!!" << endl;}else {cout << ans << endl;}}return 0;
}