18747 关键路径

### 思路

1. **建模问题**：将项目的事件和活动建模为有向无环图（DAG），其中事件是节点，活动是有权值的边。
2. **选择算法**：使用拓扑排序算法来确定节点的处理顺序，然后在拓扑排序的基础上计算最长路径。
3. **初始化**：创建一个入度数组来记录每个节点的入度，并创建一个距离数组来记录从起点到每个节点的最长路径。
4. **拓扑排序**：使用队列进行拓扑排序，依次处理入度为0的节点，并更新其邻接节点的入度和距离。
5. **计算最长路径**：在拓扑排序的过程中，更新从起点到每个节点的最长路径，最终得到从起点到终点的最长路径。

### 伪代码

```
function find_longest_path(n, m, edges):
    create an array in_degree of size n+1, initialized to 0
    create a graph as an adjacency list of size n+1
    create an array dist of size n+1, initialized to -INF
    create a queue q

    for each (a, b, x) in edges:
        graph[a].append((b, x))
        in_degree[b] += 1

    dist[1] = 0
    for i from 1 to n:
        if in_degree[i] == 0:
            q.push(i)

    while q is not empty:
        u = q.pop()
        for each (v, w) in graph[u]:
            if dist[u] + w > dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
            in_degree[v] -= 1
            if in_degree[v] == 0:
                q.push(v)

    return dist[n]
```

### C++代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>using namespace std;struct Edge {int from;int to;int weight;
};int find_longest_path(int n, int m, vector<Edge>& edges) {vector<int> in_degree(n + 1, 0);vector<vector<pair<int, int>>> graph(n + 1);vector<int> dist(n + 1, -1e9); // Use a very small value instead of INT_MINqueue<int> q;for (const auto& edge : edges) {graph[edge.from].emplace_back(edge.to, edge.weight);in_degree[edge.to] += 1;}dist[1] = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (in_degree[i] == 0) {q.push(i);}}while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();for (const auto& neighbor : graph[u]) {int v = neighbor.first;int w = neighbor.second;if (dist[u] + w > dist[v]) {dist[v] = dist[u] + w;}in_degree[v] -= 1;if (in_degree[v] == 0) {q.push(v);}}}return dist[n];
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;vector<Edge> edges(m);for (int i = 0; i < m; ++i) {cin >> edges[i].from >> edges[i].to >> edges[i].weight;}int result = find_longest_path(n, m, edges);cout << result << endl;return 0;
}

### 总结

1. **问题建模**：将项目的事件和活动建模为有向无环图，使用拓扑排序算法求解最长路径。
2. **算法选择**：使用拓扑排序算法，结合动态规划思想计算从起点到终点的最长路径。
3. **实现细节**：初始化入度数组和距离数组，使用队列进行拓扑排序，逐步更新节点的入度和距离。
4. **终止条件**：当队列为空时，输出从起点到终点的最长路径。