高数面积公式推导过程

1、平面曲线弧长

曲线长度可以通过将曲线分割成无数个微小的线段，然后将这些微小线段的长度累加起来得到。

假设有一条曲线 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上，我们希望计算这条曲线的长度。

1. 微元长度：
   考虑曲线上的一个微小线段 $ds$，其长度可以通过微分几何中的弧长公式计算。假设曲线的参数方程为 $x=x(t)$ 和 $y=y(t)$，其中 $t$ 在区间 $[a,b]$ 上变化。微小线段 $ds$ 的长度可以表示为：
   $$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$$
   其中 $dx=x^{\prime }(t)dt$ 和 $dy=y^{\prime }(t)dt$。因此，
   $$ds=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$$

2. 总长度：
   将所有微小线段的长度积分起来，得到曲线的总长度：
   $$L={\int }_a^b\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$$

如果曲线是用显式方程 $y=f(x)$ 表示的，可以将 $x$ 视为参数，即 $x$ 和 $y=f(x)$，那么公式变为：
$$L={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$

2、平面图形面积

直角坐标系

在直角坐标系中，面积可以通过将图形分割成无数个微小的矩形或梯形，然后将这些微小面积累加起来得到。

假设我们有一个平面图形，其边界由函数 $y = f(x) $和 $y=g(x)$在区间 $[a,b]$上围成，其中 $f(x)\ge g(x)$。我们希望计算这个图形的面积。

1. 微元面积：
   考虑图形上的一个微小矩形，其宽度为 $dx$，高度为 $f(x)-g(x)$。微小矩形的面积可以表示为：
   $$dS=(f(x)-g(x))dx$$

2. 总面积：
   将所有微小矩形的面积积分起来，得到图形的总面积：
   $$S={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$$

极坐标系

扇形面积公式：
$$S=\pi r^2\cdot \frac{\theta }{2\pi }=\frac{1}{2}{r}^2\theta$$
在极坐标系中，面积可以通过将图形分割成无数个微小的扇形，然后将这些微小面积累加起来得到。

假设我们有一个平面图形，其边界由极坐标方程 $r=r(\theta )$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上围成。我们希望计算这个图形的面积。

1. 微元面积：
   考虑图形上的一个微小扇形，其半径为 $r$，角度为 $d\theta$。微小扇形的面积可以表示为：
   $$dS=\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$$
   其中 $r=r(\theta )$。

2. 总面积：
   将所有微小扇形的面积积分起来，得到图形的总面积：
   $$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{2}r(\theta {)}^{2}d\theta$$

3、旋转体侧面积

假设我们有一个函数 $y=f(x)$ 定义在区间 $[a,b]$ 上，并且 $f(x)$ 是连续可微的。我们将这个函数绕 $x$ 轴旋转一周，形成一个旋转体。

1. 微元面积

考虑在 $x$ 处取一个微小的区间 $[x,x+dx]$，在这个区间内，函数 $y=f(x)$ 可以近似看作一条线段。这条线段的长度为 $dl$，其中：

$$dl=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
当这条线段绕 $x$ 轴旋转一周时，形成的旋转体的侧面积可以看作一个圆台的侧面积。圆台的侧面积公式为：

$$dS=2\pi rdl$$
其中 $r$ 是圆台的半径，即 $y=f(x)$ 。因此，微元面积 $dS$ 可以表示为：

$$dS=2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
2. 总面积

为了求得整个旋转体的侧面积 $S$，我们需要对微元面积 $dS$ 从 $x=a$ 到 $x=b$ 进行积分：

$$S={\int }_a^{b}dS={\int }_a^{b}2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$

4、旋转体体积

X轴旋转

考虑在区间 $[a,b]$ 上的一个小区间 $[x,x+dx]$，在这个小区间上，函数 $y=f(x)$ 可以近似看作一个常数 $y$。当这个小区间绕 $x$ 轴旋转一周时，形成一个圆柱体，其底面半径为 $y$，高为 $dx$。

1. 微元体积

这个圆柱体的微元体积 $dV$ 可以表示为：
$$dV=\pi y^{2}dx$$

2. 总体积

为了求得整个旋转体的体积 $V$，我们需要将所有这些微元体积从 $x=a$ 到 $x=b$ 进行积分：
$$V={\int }_a^{b}dV={\int }_a^b\pi y^{2}dx$$

好的，我们仍然使用 $dx$ 来推导绕 $y$ 轴旋转一周的旋转体体积。假设我们有一个函数 $y=f(x)$，它在区间 $[a,b]$ 上连续且非负。我们将这个函数绕 $y$ 轴旋转一周，形成一个旋转体。我们需要计算这个旋转体的体积。

Y轴旋转

考虑在区间 $[a,b]$ 上的一个小区间 $[x,x+dx]$，在这个小区间上，函数 $y=f(x)$ 可以近似看作一个常数 $y$。当这个小区间绕 $y$ 轴旋转一周时，形成一个圆环体，其内径为 $x$，外径为 $x+dx$，高为 $y$。

1. 微元体积

这个圆柱体的微元体积 $dV$ 可以表示为：

$$dV=\pi [(x+dx{)}^2-x^2]y$$

2. 简化微元体积

我们可以简化这个表达式。注意到 $(x+dx{)}^2-x^2=2xdx+(dx{)}^2$，由于 $(dx{)}^2$ 是高阶无穷小量，可以忽略不计，因此：
$$dV\approx \pi (2xdx)y=2\pi xydx$$

3. 总体积

为了求得整个旋转体的体积 $V$，我们需要将所有这些体积微元从 $x=a$ 到 $x=b$ 进行积分：
$$V={\int }_a^{b}dV={\int }_a^{b}2\pi xydx$$

5、曲率公式

1. 曲线的参数化表示

首先，我们将曲线 $y=f(x)$ 参数化为 $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$，其中 $x(t)=t$ 和 $y(t)=f(t)$。

2. 切向量

曲线的切向量 $\mathbf{T}(t)$ 是单位向量，表示曲线在点 $\mathbf{r}(t)$ 处的方向。切向量可以表示为：
$$\mathbf{T}(t)=\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }$$
其中，${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$。

3. 曲率公式

曲率 $\kappa$ 是切向量 $\mathbf{T}(t)$ 的变化率，即：
$$\kappa =\Vert \frac{d\mathbf{T}}{ds}\Vert$$
其中，$ds$ 是弧长微元，$ds=\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert dt$。

4. 弧长微元

弧长微元 $ds$ 可以表示为：
$$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
5. 切向量的变化率

切向量 $\mathbf{T}(t)$ 的变化率 $\frac{d\mathbf{T}}{ds}$ 可以表示为：
$$\frac{d\mathbf{T}}{ds}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}\cdot \frac{dt}{ds}$$
其中，$\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }$。

6. 计算 $\frac{d\mathbf{T}}{dt}$

切向量 $\mathbf{T}(t)$ 的导数 $\frac{d\mathbf{T}}{dt}$ 可以表示为：
$$\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }\right)$$
由于 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(1,y^{\prime })$，我们有：
$$\mathbf{T}(t)=\frac{(1,y^{\prime })}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$$
7. 计算 $\frac{d\mathbf{T}}{dt}$ 的分量
$$\begin{array}{rl}\frac{d\mathbf{T}}{dt}& =\frac{d}{dt}\left(\frac{(1,y^{\prime })}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\frac{d}{dt}(1,y^{\prime })-\frac{(1,y^{\prime })}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\cdot \frac{y^{\prime \prime }{y}^{\prime }}{1+y^{\prime 2}}\\ & =\frac{(0,y^{\prime \prime })}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}-\frac{(1,y^{\prime })y^{\prime \prime }{y}^{\prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}\end{array}$$

8. 计算 $\frac{d\mathbf{T}}{ds}$
$$\begin{array}{rl}\frac{d\mathbf{T}}{ds}& =\frac{d\mathbf{T}}{dt}\cdot \frac{dt}{ds}\\ & =\frac{(0,y^{\prime \prime })}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}-\frac{(1,y^{\prime })y^{\prime \prime }{y}^{\prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\\ & =\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}\end{array}$$
9. 曲率公式

因此，曲率 $\kappa$ 为：
$$\kappa =\Vert \frac{d\mathbf{T}}{ds}\Vert =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$