物理学基础精解【55】
文章目录
- 函数
- 函数及图形
- 绝对值
- 定义
- 性质
- 公式
- 数学原理
- 例题
- 区间
- 定义
- 性质
- 公式
- 数学原理
- 例题
- 领域
- 定义
- 性质
- 数学原理
- 例题
- 绝对值的定理
- 1. 绝对值的定义
- 2. 非负性定理
- 3. 绝对值的唯一性
- 4. 相反数的绝对值相等
- 5. 绝对值的乘法性质
- 6. 绝对值的三角不等式(或称为绝对值的加法性质的一个弱化形式)
- 7. 绝对值的加法性质(在特定条件下成立)
- 8. 绝对值的幂性质
- 函数
- 定义
- 性质
- 公式
- 数学原理和推导
- 例子和例题
- 非函数
- 定义
- 性质
- 公式和数学原理
- 例子和例题
- 参考文献
函数
函数及图形
绝对值
定义
绝对值是指一个数在数轴上到原点的距离,不考虑其正负号。对于实数a,其绝对值记作|a|。
性质
- 非负性:|a| ≥ 0,即任何实数的绝对值都是非负的。
- 绝对值的几何意义:|a|表示数轴上表示数a的点到原点的距离。
- 相反数的绝对值相等:|a| = |-a|,即一个数的绝对值与其相反数的绝对值相等。
公式
- 当a ≥ 0时,|a| = a;
- 当a < 0时,|a| = -a。
数学原理
绝对值反映了数与原点之间的“距离”关系,这种距离关系在数学中具有重要意义,特别是在解决与距离、范围有关的问题时。
例题
例1:计算|5|,结果为5,因为在数轴上5距离原点5个单位长度。
例2:计算|-5|,结果也为5,虽然-5是负数,但其绝对值反映的是它到原点的距离,所以也是5。
例3:计算|2-7|,先计算括号内的差值得到-5,再取绝对值,结果为5,表示2和7在数轴上两点间的距离为5。
区间
定义
区间是指由实数构成的一段连续的数值范围。一个区间可以被表示为一个不等式形式的集合,其中包含了所有满足该不等式的实数。
性质
- 连续性:区间内的数是连续的,没有间断点。
- 有限性或无限性:区间可以是有限的(有明确的起点和终点),也可以是无限的(只有起点或终点,或两者都没有)。
公式
- 开区间:(a, b),表示实数的范围在a和b之间,但不包括a和b。
- 闭区间:[a, b],表示实数的范围在a和b之间,包括a和b。
- 半开半闭区间:[a, b) 或 (a, b],表示实数的范围在a和b之间,但只包括其中一个端点。
- 无限区间:(-∞, +∞),表示实数的范围是整个实数轴。
数学原理
区间是数学中描述实数范围的重要工具,它在实数分析、微积分、概率论等领域有广泛应用。
例题
例1:求区间(2, 5)内的所有实数,即所有大于2且小于5的实数。
例2:求区间[3, 7]内的所有实数,即所有大于等于3且小于等于7的实数。
领域
定义
在数学中,领域(或邻域)通常指的是给定点附近其它点的集合。在距离空间中,领域一般被定义为以给定点为圆心的一个圆(或球,在更高维空间中)。
性质
- 中心性:领域总是围绕一个中心点展开。
- 大小可调:领域的大小可以通过调整半径(或其他度量)来改变。
数学原理
领域的概念在拓扑学、分析学等领域有重要应用,它用于描述点的局部性质和行为。
例题
例1:设点a在数轴上,求以a为中心,半径为1的所有点构成的领域,即所有满足|x-a| < 1的实数x的集合。
请注意,由于“领域”在数学中有多重含义,上述定义和例题主要基于其在距离空间和拓扑学中的常见用法。在其他领域(如组合优化、人工智能等),“领域”可能有不同的定义和应用。
绝对值的定理
主要涉及到绝对值的基本性质和运算规则,以下是一些关键的绝对值定理:
1. 绝对值的定义
对于任意实数 a a a,其绝对值 ∣ a ∣ |a| ∣a∣定义为:
∣ a ∣ = { a , a ≥ 0 − a , a < 0 |a| =\begin{cases}a, a \geq 0 \\ -a, a < 0\end{cases} ∣a∣={a,a≥0−a,a<0
2. 非负性定理
对于任意实数 a a a,都有 ∣ a ∣ ≥ 0 |a| \geq 0 ∣a∣≥0。即,任何实数的绝对值都是非负的。
3. 绝对值的唯一性
若 ∣ a ∣ = 0 |a| = 0 ∣a∣=0,则必有 a = 0 a = 0 a=0。即,只有0的绝对值是0。
4. 相反数的绝对值相等
对于任意实数 a a a,都有 ∣ a ∣ = ∣ − a ∣ |a| = |-a| ∣a∣=∣−a∣。即,一个数与其相反数的绝对值相等。
5. 绝对值的乘法性质
对于任意实数 a a a和 b b b,有 ∣ a b ∣ = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ |ab| = |a| \cdot |b| ∣ab∣=∣a∣⋅∣b∣。即,两个数的乘积的绝对值等于这两个数绝对值的乘积。
6. 绝对值的三角不等式(或称为绝对值的加法性质的一个弱化形式)
对于任意实数 a a a和 b b b,有 ∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ |a + b| \leq |a| + |b| ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣。这是绝对值的一个重要性质,它描述了两个数之和的绝对值与这两个数绝对值之和之间的关系。
7. 绝对值的加法性质(在特定条件下成立)
当且仅当 a b ≥ 0 ab \geq 0 ab≥0(即 a a a和 b b b同号或其中至少有一个为0)时,有 ∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣ |a + b| = |a| + |b| ∣a+b∣=∣a∣+∣b∣。这是绝对值加法性质的一个特殊情形。
8. 绝对值的幂性质
对于任意实数 a a a和正整数 n n n,有 ∣ a n ∣ = ∣ a ∣ n |a^n| = |a|^n ∣an∣=∣a∣n。即,一个数的幂的绝对值等于这个数绝对值的幂。
这些定理共同构成了绝对值理论的基础,使得我们能够更好地理解和运用绝对值在数学中的应用。
函数
定义
函数是一种特殊的对应关系,它按照某种规则将一个数集(定义域)中的每一个元素映射到另一个数集(值域)中的唯一元素。形式化地,如果存在两个非空实数集合 D D D(定义域)和 R R R(值域),以及一个对应规则 f f f,使得对于 D D D中的任意元素 x x x,都存在唯一的 y ∈ R y \in R y∈R与之对应,则称 f f f为从 D D D到 R R R的函数。
性质
- 确定性:对于定义域中的每一个 x x x,函数值 f ( x ) f(x) f(x)是唯一的。
- 有界性(某些函数具有):函数的值域可能是有限的或无限的,但总是确定的。
- 单调性(某些函数具有):函数在其定义域的某个子集上可能单调增加或单调减少。
- 连续性(某些函数具有):函数在其定义域的某个子集上可能是连续的。
公式
函数的表示方式多种多样,包括解析式(如 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2)、表格、图像和逐段定义等。
数学原理和推导
函数的概念是数学分析的基础,它涉及到极限、导数、积分等重要概念。函数的性质(如单调性、连续性、可导性、可积性等)是通过数学原理(如中值定理、微积分基本定理等)来推导和证明的。
例子和例题
例子:
- 线性函数: f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b
- 二次函数: f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x) = ax^2 + bx + c f(x)=ax2+bx+c
- 指数函数: f ( x ) = e x f(x) = e^x f(x)=ex
- 对数函数: f ( x ) = log a ( x ) f(x) = \log_a(x) f(x)=loga(x)(其中 a > 0 a > 0 a>0且 a ≠ 1 a \neq 1 a=1)
例题:
-
求函数值:给定函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 f(x) = x^2 + 2x + 1 f(x)=x2+2x+1,求 f ( 3 ) f(3) f(3)。
解:将 x = 3 x = 3 x=3代入函数表达式,得 f ( 3 ) = 3 2 + 2 × 3 + 1 = 16 f(3) = 3^2 + 2 \times 3 + 1 = 16 f(3)=32+2×3+1=16。 -
判断单调性:判断函数 f ( x ) = 2 x − 1 f(x) = 2x - 1 f(x)=2x−1在 R \mathbb{R} R上的单调性。
解:由于函数的导数 f ′ ( x ) = 2 > 0 f'(x) = 2 > 0 f′(x)=2>0,因此函数在 R \mathbb{R} R上单调增加。
非函数
定义
非函数指的是不满足函数定义的对应关系。即,如果存在一个元素在定义域中对应到值域中的多个元素,或者没有元素与之对应,则这种对应关系不是函数。
性质
非函数没有像函数那样的确定性和唯一性。它们可能表现为多值对应、无对应或不确定的对应关系。
公式和数学原理
由于非函数不是标准的数学对象,因此它们没有统一的公式或数学原理。然而,在某些情况下,可以通过引入新的概念(如多值函数、映射的逆等)来部分地描述和分析非函数的行为。
例子和例题
例子:
- 一个典型的非函数例子是“求一个正实数的平方根”,因为对于每个正实数,都有两个平方根(一个正数和一个负数)。
- 另一个例子是“将一个实数四舍五入到最近的整数”,因为对于某些实数(如0.5),有两个最近的整数(0和1)。
例题(以非标准形式呈现,因为非函数没有统一的解题方法):
- 分析对应关系:考虑对应关系“将每个实数映射到其绝对值的平方”。分析这是否是一个函数。
解:这不是一个函数,因为对于每个非零实数 x x x,都有两个数( x x x和 − x -x −x)映射到相同的值( x 2 x^2 x2)。然而,如果我们限制定义域为非负实数或负实数,那么它就是一个函数。
需要注意的是,虽然非函数在数学中不是主要的研究对象,但它们在某些领域(如复数分析中的多值函数、物理学中的不确定性原理等)中仍然具有重要的应用和意义。
参考文献
- 文心一言