【数学二】一元函数微分学-导数的计算-复合函数的求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数$f(x)$具有二阶导数当$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时，$f(x)$的图形是凹的;当 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时,$f(X)$的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

导数的计算

复合函数的求导法则

若$u=\phi (x)$在点$x$可导，而$y=f(u)$在对应点$u=\phi (x)$可导，则复合函数$y=f[\phi (x)]$在点$x$可导，并且$(f[\phi (x)]{)}^{{}^{\prime }}=f^{{}^{\prime }}(u){\phi }^{{}^{\prime }}(x)=f^{{}^{\prime }}[\phi (x)]{\phi }^{{}^{\prime }}(x)$，即$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

TIPS:

复合函数求导注意事项：按照由外层到内层逐层求导，所求导数进行相乘，特别不要漏下最内层的导数，也不要重复求导

练习1：求下列函数的导数$$\begin{array}{ccc}1、y=\arcsin \frac{x}{2}& 2、y=e^{{\cos }^2\frac{1}{x}}& 3、y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})\end{array}$$

知识点:
1、复合函数求导注意事项：按照由外层到内层逐层求导，所求导数进行相乘
2、基本初等函数的导数公式：$\begin{array}{cccc}1、(C{)}^{{}^{\prime }}=0& 2、(x^a{)}^{{}^{\prime }}=a{x}^{a-1}& 3、(a^x{)}^{{}^{\prime }}=a^x\ln a& 4、(e^x{)}^{{}^{\prime }}=e^x\\ & & & \\ 5、({\log }_{a}x{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln a}& 6、(\ln |x|{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x}& 7、(\sin x{)}^{{}^{\prime }}=\cos x& 8、(\cos x{)}^{{}^{\prime }}=-\sin x\\ & & & \\ 9、(\tan x{)}^{{}^{\prime }}={\sec }^{2}x& 10、(\cot x{)}^{{}^{\prime }}=-{\csc }^{2}x& 11、(\sec x{)}^{{}^{\prime }}=\sec x\tan x& 12、(\csc x{)}^{{}^{\prime }}=-\csc x\cot x\\ & & & \\ 13、(\arcsin x{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& 14、(\arccos x{)}^{{}^{\prime }}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& 15、(\arctan x{)}^{{}^{\prime }}=-\frac{1}{1+x^2}& 16、(arccotx{)}^{{}^{\prime }}=-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$

解：$$\begin{gathered} 题1 \\ {y}^{{}^{\prime }}=(\arcsin \frac{x}{2}{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-{(\frac{x}{2})}^2}}.(\frac{x}{2}{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \\ 题2 \\ {y}^{{}^{\prime }}=(e^{{\cos }^2\frac{1}{x}}{)}^{{}^{\prime }}\cdot ({\cos }^2\frac{1}{x}){}^{\prime }\cdot (\cos \frac{1}{x}{)}^{{}^{\prime }}\cdot (\frac{1}{x}{)}^{{}^{\prime }} \\ =e^{{\cos }^2\frac{1}{x}}\cdot 2(\cos \frac{1}{x})\cdot (-\sin \frac{1}{x})\cdot (-\frac{1}{x^2}) \\ =e^{{\cos }^2\frac{1}{x}}\cdot \sin \frac{2}{x}\cdot \frac{1}{x^2} \\ 题3 \\ {y}^{{}^{\prime }}=(\ln (x+\sqrt{x^2+1}){)}^{{}^{\prime }}\cdot (x+\sqrt{x^2+1}{)}^{{}^{\prime }} \\ =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}) \\ =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{gathered}$$

练习2：已知$y=f(\frac{3x-2}{3x+2}),f^{{}^{\prime }}(x)=\arctan x^2$，则$\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$=?

解：$$\begin{gathered} y^{{}^{\prime }}=f^{{}^{\prime }}(x)\cdot (\frac{3x-2}{3x+2}{)}^{{}^{\prime }}=f^{{}^{\prime }}(\frac{3x-2}{3x+2})\cdot (1-\frac{4}{3x+2}{)}^{{}^{\prime }} \\ =\frac{\arctan (\frac{3x-2}{3x+2}{)}^2\cdot (12)}{(3x+2{)}^2} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=3\arctan 1=\frac{3\pi }{4} \end{gathered}$$

练习3：设$f(u)$可导，$y=f({\sin }^{2}x)+f({\cos }^{2}x)$，则$\frac{dy}{dx}{|}_{x=\frac{\pi }{4}}$=?

解：$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=f({\sin }^{2}x{)}^{{}^{\prime }}\cdot ({\sin }^{2}x{)}^{{}^{\prime }}\cdot (\sin x{)}^{{}^{\prime }}+f({\cos }^{2}x{)}^{{}^{\prime }}\cdot ({\cos }^{2}x{)}^{{}^{\prime }}\cdot (\cos x{)}^{{}^{\prime }} \\ =f({\sin }^{2}x{)}^{{}^{\prime }}\cdot 2\sin x\cdot \cos x+f({\cos }^{2}x{)}^{{}^{\prime }}\cdot 2\cos x\cdot -\sin x \\ =\sin 2x(f({\sin }^{2}x)-f({\cos }^{2}x)) \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=\frac{\pi }{4}}=f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{2})=0 \end{gathered}$$

反函数求导法则

设函数$y=f(x)$在区间$I$内单调、可导，且$f^{{}^{\prime }}(x)\ne 0$，则反函数$x=\phi (y)$在对应的区间内可导，并且$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}即{\phi }^{{}^{\prime }}(x)=\frac{1}{f^{{}^{\prime }}(x)}$。
即：互为反函数的导数互为倒数

隐函数求导法则

设$y=f(x)$是由方程$F(x,y)=0$ 所确定的可导函数，求其导数。方程$F(x,y)=0$两边对$x$求导数，牢记$y是x$的函数，由复合函数求导法则和四则运算求导法则，得到一个含有$\frac{dy}{dx}$的方程，从中解出$\frac{dy}{dx}$即可。
TIPS:$\frac{dy}{dx}$也可以使用隐函数求导公式$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$

练习1：函数$y=f(x)$由方程$\arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{x^2+y^2}$所确定，求$\frac{dy}{dx}$

解：$$\begin{gathered} \arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{x^2+y^2}两边对x求导得 \\ \Rightarrow (\arctan \frac{y}{x}{)}^{{}^{\prime }}=(\ln \sqrt{x^2+y^2}{)}^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{1+(\frac{y}{x}{)}^2}\cdot \frac{y^{{}^{\prime }}x-y}{x^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \frac{2x+2y.y^{{}^{\prime }}}{2\sqrt{x^2+y^2}} \\ \Rightarrow y^{{}^{\prime }}=\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y} \end{gathered}$$

练习2：设函数$y=y(x)$由方程$\ln (x^2+y)=x^{3}y+\sin x$ 确定，则$\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=$？

知识点：$\frac{dy}{dx}$也可以使用隐函数求导公式$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$

解 : $$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{F}_x^{{}^{\prime }}=\frac{2x}{x^2+y}=3y{x}^2+\cos x\\ \\ F_y^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x^2+y}=x^3\end{array} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{2x}{x^2+y}-3y{x}^2-\cos x}{\frac{1}{x^2+y}-x^3} \\ x=0，y=1 \\ 带入公式解得：\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=1 \end{gathered}$$

练习3：求曲线$x^2+xy+y^2=4$在点$(2,-2)$处得切线方程和法线方程。

知识点：
1、$\frac{dy}{dx}$也可以使用隐函数求导公式$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$
2、如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则曲线$y=f(x)在点(x_0，f(x_0))$处必有切线，其切线方程为：$y-f(x_0)=f^{{}^{\prime }}(x_0)(x-x_0)$
3、如果$f^{{}^{\prime }}(x_0)\ne 0$，则曲线$y=f(x)在点(x_0，f(x_0))$此处的法线方程为：$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{{}^{\prime }}(x_0)}(x-x_0)$

解：$$\begin{gathered} F_x^{{}^{\prime }}=2x+y，F_y^{{}^{\prime }}=x+2y \\ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}=-\frac{2x+y}{x+2y} \\ \Rightarrow =-\frac{2\times 2-2}{2-4}=1 \\ \Rightarrow 切线：y+2=1(x-2)\Rightarrow y=x-4 \\ \Rightarrow 法线：y+2=-1(x-2)\Rightarrow y=-x \end{gathered}$$