静电势能（electrostatic potential energy）和电势（electric potential）

静电势能(electrostatic potential energy)

静电势能是把一个电荷从无穷远处移动到这个位置需要做的功。

静电势能的符号： U

图示：

计算公式：

$$U=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_{0}R}$$

其中

• U 是静电势能，单位焦耳
• $q_1$ 是电荷 $q_1$ 所带电荷量
• $q_2$ 是电荷 $q_2$ 所带电荷量
• ${ϵ}_0$ 是真空介电常数， $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=9\ast 10^9$
• R 是两个电荷的距离

解释

1.在空间中的一个位置放上正电荷 $q_1$ ，这一步不需要做任何功。

2.施加外力 $\vec{F}$ 将另一个正电荷 $q_2$ 从无穷远处推到位置 p，这一步需要克服两个电荷间的静电力做功，此时外部施加的力所做的功的大小为

$$W={\int }_{\infty }^R\vec{F}\cdot \overrightarrow{dr}$$

这也等于在电场力 $\overrightarrow{F_{el}}$ 的作用下，将正电荷 $q_2$ 从位置 p 推到无穷远时所做的功。

$$W={\int }_R^{\infty }\overrightarrow{F_{el}}\cdot \overrightarrow{dr}$$

由于运动方向和电场力的方向一致，夹角为 0，cos(0) = 1，所以，所作的功为(这里用到了之前文章里介绍过的静电力的公式)：

$$W=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_R^{\infty }\frac{dr}{r^2}$$

因为

$${\int }_R^{\infty }\frac{dr}{r^2}=-\frac{1}{r}{|}_R^{\infty }=\frac{1}{R}$$

所以静电势能 U 为

$$U=W=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_{0}R}$$

其中 W 是电荷 $q_2$ 在 $q_1$ 的静电力下，从 R 运动到正无穷时所做的功。

电势（electric potential）

电势的符号：V

电势是把一个单位电荷从无穷远处移动到这一点所要做的功。

图示：

计算公式：

$$V=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}R}$$

其中

• V 是电势，单位伏特
• Q 是正电荷 Q 所带电荷量
• ${ϵ}_0$ 是真空介电常数， $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=9\ast 10^9$
• R 是两个电荷的距离

解释

首先，在空间中放置一个正电荷 Q，有一点位置 p 与正电荷
Q 的距离为 R，在位置 p 处放置一个试验电荷 +q，试验电荷 +q 的静电势能 U 我们已经知道，如下

$$U=\frac{Qq}{4\pi {ϵ}_{0}R}$$

因为电势 V 是从无穷远处，将单位电荷移动到位置 p 所做的功，所以

$$V=\frac{U}{q}=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}R}$$

参考

【麻省理工公开课：电和磁】 https://www.bilibili.com/video/BV1rW41147od/?p=4