【高等代数笔记】线性空间（十-十三）
3. 线性空间
3.12 向量组的秩的应用
【命题3】向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs线性无关 ⇔ rank { α 1 , . . . , α s } = s \Leftrightarrow \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}=s ⇔rank{α1,...,αs}=s
【证】向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs本身就是向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs的一个极大线性无关组 ⇔ rank { α 1 , . . . , α s } = s \Leftrightarrow \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}=s ⇔rank{α1,...,αs}=s
【命题4】向量组(1)可以由向量组(2)线性表出，则 rank ( 1 ) ≤ rank ( 2 ) \text{rank}(1)\le\text{rank}(2) rank(1)≤rank(2)
【证】取向量组(1)的一个极大线性无关组(1)‘，取向量组(2)的一个极大线性无关组(2)’， ( 1 ) ≅ ( 1 ) ′ , ( 2 ) ≅ ( 2 ) ′ (1)\cong (1)',(2)\cong (2)' (1)≅(1)′,(2)≅(2)′，所以(1)'可以由(1)线性表出，又向量组(1)可以由向量组(2)线性表出，又由于(2)可以由(2)'线性表出（极大线性无关组和原向量组互相线性表出），则(1)'可以由(2)'线性表出。(1)'线性无关，根据上节课的推论1，(1)'的所含向量的个数小于等于(2)'的向量个数，即 rank ( 1 ) ≤ rank ( 2 ) \text{rank}(1)\le\text{rank}(2) rank(1)≤rank(2)
【注】【推论1】【引理1的逆否命题】设向量组 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}可以由 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,...,αs}线性表出，如果 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}线性无关，那么 r ≤ s r\le s r≤s
【推论4】等价的向量组有相等的秩。
3.13 线性空间子集线性相关性
设 V 是 \textbf{V}是 V是数域 K \textbf{K} K上任意一个线性空间
【定义1】 V \textbf{V} V的一个有限子集 { α 1 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,...,αs}线性相（无）关 : ⇔ :\Leftrightarrow :⇔向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs线性相（无）关。
V \textbf{V} V的一个无限子集 S \textbf{S} S线性相（无）关 : ⇔ S :\Leftrightarrow\textbf{S} :⇔S有一个有限子集是线性相关。
从而 V \textbf{V} V的无限子集 S \textbf{S} S线性无关 : ⇔ S :\Leftrightarrow\textbf{S} :⇔S的任何一个有限子集都线性无关。
3.14 线性空间的基
平面上任何一个向量都可以由两个不共线的向量线性表示，则这两个向量称为基。
【定义2】假设 V \textbf{V} V是数域 K \textbf{K} K上的线性空间， V \textbf{V} V的一个子集 S \textbf{S} S如果满足下面两个条件：
（1） S \textbf{S} S是线性无关的；
（2） V \textbf{V} V中任意一个向量可以由 S \textbf{S} S中的有限多个向量线性表出。
称 S \textbf{S} S是 V \textbf{V} V的一个基。
【注】在定义2中，若 S \textbf{S} S就是一个有限子集 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,...,αs}，则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs是 V \textbf{V} V的一个有序基（向量组是有次序的）。空集 ∅ \emptyset ∅定义成线性无关， { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0}的一个基就是空集，即只含零向量的线性空间是空集。
【定理1】任何一个数域上的任一线性空间都有一个基。
（证明是下册的，不作为教学要求）
【定义3】若 V \textbf{V} V有一个基是有限子集，则称 V \textbf{V} V是有限维的，若 V \textbf{V} V有一个基是无限子集，则称 V \textbf{V} V是无限维的。
【定理2】若 V \textbf{V} V是有限维的（ V \textbf{V} V有一个基是有限子集 { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,...,αn}），则 V \textbf{V} V的任意两个基所含向量的个数相等。
【证】 V \textbf{V} V有一个基是有限子集 { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,...,αn}，任取 V \textbf{V} V的另外一个基 S \textbf{S} S，用反证法，假如 S \textbf{S} S所含向量的个数 > n >n >n，则 S \textbf{S} S中可取 n + 1 n+1 n+1个（个数大于 n n n，至少有 n + 1 n+1 n+1个向量）向量 β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1，则 β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1可以由基 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性表出，因此根据引理1得 β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1线性相关，但是 S \textbf{S} S是基， β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1线性无关，矛盾。
则 S \textbf{S} S所含向量的个数小于等于 n n n
设 S = { β 1 , β 2 , . . . , β m } , m ≤ n \textbf{S}=\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{m}\},m\le n S={β1,β2,...,βm},m≤n
因为 { β 1 , β 2 , . . . , β m } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{m}\} {β1,β2,...,βm}与 { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,...,αn}都是基，则二者可以互相线性表出且它们都是线性无关的，即 { β 1 , β 2 , . . . , β m } ≅ { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{m}\}\cong \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {β1,β2,...,βm}≅{α1,α2,...,αn}
由等价的线性无关的向量组它们所含的向量个数相等
则 m = n m=n m=n
证毕.
【注】【引理1】设向量组 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}可以由向量组 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,...,αs}线性表出，如果 r > s r>s r>s，那么 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}一定线性相关。
【推论1】若 V \textbf{V} V是无限维的线性空间，则 V \textbf{V} V的任何一个基都是无限子集。
【证】用反证法，假如 V \textbf{V} V有一个基是有限子集，则根据定理2的证明知， V \textbf{V} V的任何一个基所含向量个数都为 n n n，这与 V \textbf{V} V是无限维的矛盾。
3.15 线性空间的维数
【定义4】设 V \textbf{V} V是有限维的，则把 V \textbf{V} V的一个基所含向量的个数称为 V \textbf{V} V的维数，记作 dim K V \dim_{\textbf{K}}\textbf{V} dimKV或 dim V \dim\textbf{V} dimV，若 V \textbf{V} V是无限维的，把 V \textbf{V} V的维数记作 dim V = ∞ \dim \textbf{V}=\infty dimV=∞，只含零向量的线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0}的维数为0.
【命题1】设 V \textbf{V} V是 n n n维线性空间，即 dim V = n \dim \textbf{V}=n dimV=n，则 V \textbf{V} V中任意 n + 1 n+1 n+1个向量都线性相关。（根据定理2的证明过程就能得到）
【定义】设 dim V = n \dim \textbf{V}=n dimV=n，取 V \textbf{V} V的一个基 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn，则 V \textbf{V} V中任一向量 α = a 1 α 1 + a 2 α 2 + . . . + a n α n \boldsymbol\alpha=a_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+...+a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n} α=a1α1+a2α2+...+anαn，又因为基是线性无关的，且表出方式唯一，把它的系数组成列向量 ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix} a1a2⋮an 记作 α \boldsymbol\alpha α在基 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn下的坐标。
【例】几何空间中三个不共面的向量就是一个基。从而几何空间是3维的；过顶点 O O O的平面 π \pi π是2维的；过顶点 O O O的任意一条直线 l l l，过顶点 O O O的直线 l l l是1维的。
3.16 线性无关向量组与基
【例】数域 K n \textbf{K}^{n} Kn中，向量组 ε 1 = ( 1 0 ⋮ 0 ) , ε 2 = ( 0 1 ⋮ 0 ) , . . . , ε n = ( 0 0 ⋮ 1 ) \boldsymbol\varepsilon_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\boldsymbol\varepsilon_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},...,\boldsymbol\varepsilon_{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} ε1= 10⋮0 ,ε2= 01⋮0 ,...,εn= 00⋮1 是线性无关的。（拼起来成矩阵求行列式，行列式不等于0，线性无关，或者从线性无关定义也可证明）
α = ( a 1 0 ⋮ 0 ) = ( 0 a 2 ⋮ 0 ) + ( 0 0 ⋮ a n ) + . . . + ( a 1 a 2 ⋮ a n ) = a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 + . . . + a n ξ n \boldsymbol\alpha=\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ a_2 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}=a_{1}\boldsymbol{\xi}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\xi}_{2}+...+a_{n}\boldsymbol{\xi}_{n} α= a10⋮0 = 0a2⋮0 + 00⋮an +...+ a1a2⋮an =a1ξ1+a2ξ2+...+anξn
因此 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \boldsymbol{\xi}_{1},\boldsymbol{\xi}_{2},...,\boldsymbol{\xi}_{n} ξ1,ξ2,...,ξn是 K n \textbf{K}^{n} Kn的一个基（称为标准基），任意一个向量 α \boldsymbol\alpha α在这个基下的坐标为 ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = α (a_{1},a_{2},...,a_{n})=\boldsymbol\alpha (a1,a2,...,an)=α
【命题2】 dim V = n \dim \textbf{V}=n dimV=n，则 V \textbf{V} V中任意 n n n个线性无关的向量都是 V \textbf{V} V的一个基。
【证】设 α 1 , . . . , α n \boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n} α1,...,αn线性无关，任取 β ∈ V \boldsymbol\beta\in\textbf{V} β∈V，则根据命题1 α 1 , . . . , α n , β \boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n},\boldsymbol\beta α1,...,αn,β线性相关，根据第三节命题2， V \textbf{V} V中任意一个向量 β \boldsymbol\beta β可以由 α 1 , . . . , α n \boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n} α1,...,αn线性表出，因此 α 1 , . . . , α n \boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n} α1,...,αn就是 V \textbf{V} V的一个基
【注】第三节命题2：设向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性无关，如果将 β \boldsymbol{\beta} β添加到上述向量组成为一个新的向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s , β \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta} α1,α2,...,αs,β，这个新的向量组如果线性相关，那么 β \beta β可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性表出。
【命题3】设 dim V = n \dim\textbf{V}=n dimV=n，若 V \textbf{V} V中每一个向量可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性表出，则 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn是 V \textbf{V} V的一个基。
【证】取 V \textbf{V} V的一个基 δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n} δ1,...,δn，由已知条件， δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n} δ1,...,δn可以由 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性表出，于是 rank { δ 1 , . . . , δ n } ≤ rank { α 1 , α 2 , . . . , α n } \text{rank}\{\boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n}\}\le \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} rank{δ1,...,δn}≤rank{α1,α2,...,αn}
由于 δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n} δ1,...,δn是基，则其线性无关，即 n = rank { δ 1 , . . . , δ n } ≤ rank { α 1 , α 2 , . . . , α n } ≤ n n=\text{rank}\{\boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n}\}\le \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}\le n n=rank{δ1,...,δn}≤rank{α1,α2,...,αn}≤n
所以 rank { α 1 , α 2 , . . . , α n } = n \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}=n rank{α1,α2,...,αn}=n
从而 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性无关，又因为 V \textbf{V} V中每一个向量可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性表出
因此 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn是 V \textbf{V} V的一个基。
【命题4】设 dim V = n \dim \textbf{V}=n dimV=n，则 V \textbf{V} V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成 V \textbf{V} V的一个基。
【证】设 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性无关
若 s = n s=n s=n，则根据命题2 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn就是 V \textbf{V} V的一个基；
若 s < n s<n s<n，则 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs不是一个基，从而 V \textbf{V} V中有向量 β 1 \boldsymbol\beta_{1} β1不能由 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性表出，于是 α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol\beta_{1} α1,α2,...,αs,β1必定线性无关（因为如果它线性相关，又 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性无关，则 β 1 \boldsymbol\beta_{1} β1可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性表出，与 β 1 \boldsymbol\beta_{1} β1不能由 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性表出矛盾）
若 s + 1 < n s+1<n s+1<n，依次下去，找到一个线性无关的就添进来，直到向量个数为 n n n， α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , . . . , β r \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol\beta_{1},...,\boldsymbol\beta_{r} α1,α2,...,αs,β1,...,βr线性无关
且 s + r = n s+r=n s+r=n，因此 α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , . . . , β r \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol\beta_{1},...,\boldsymbol\beta_{r} α1,α2,...,αs,β1,...,βr是 V \textbf{V} V的一个基。
【命题5】设 dim V , W \dim\textbf{V},\textbf{W} dimV,W是 V \textbf{V} V的一个子空间，则 dim W ≤ dim V \dim\textbf{W}\le\dim\textbf{V} dimW≤dimV
若 dim W = dim V \dim\textbf{W}=\dim\textbf{V} dimW=dimV在，则 W = V \textbf{W}=\textbf{V} W=V
【证】根据命题4，取 W \textbf{W} W一个基 α 1 , α 2 , . . . , α m \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{m} α1,α2,...,αm可以扩充成 V \textbf{V} V的一个基础，即 α 1 , α 2 , . . . , α m , α m + 1 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{m},\boldsymbol\alpha_{m+1},...,\boldsymbol\alpha_{n} α1,α2,...,αm,αm+1,...,αn即 dim W ≤ dim V \dim\textbf{W}\le\dim\textbf{V} dimW≤dimV
再证若 dim W = dim V \dim\textbf{W}=\dim\textbf{V} dimW=dimV在，则 W = V \textbf{W}=\textbf{V} W=V
W \textbf{W} W中一个基 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn，从而 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn是 V \textbf{V} V的一个基，于是 V \textbf{V} V中任一向量 β = b 1 α 1 + . . . + b n α n ∈ W \boldsymbol\beta=b_{1}\boldsymbol\alpha_{1}+...+b_{n}\boldsymbol\alpha_{n}\in\textbf{W} β=b1α1+...+bnαn∈W，从而 V ⊂ W \textbf{V}\subset\textbf{W} V⊂W又 W ⊂ V \textbf{W}\subset\textbf{V} W⊂V，所以 V = W \textbf{V}=\textbf{W} V=W