物理学基础精解【16】

参数方程

曲线的参数方程

概述

是描述曲线上点坐标的一种方式，它使用一个或多个参数来表示曲线上点的坐标。这种方式在处理复杂曲线时非常有用，因为它可以让我们更容易地描述和分析曲线的性质。

一般来说，一个二维曲线可以用两个参数方程来表示，形如：

$$\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$$

其中，$t$ 是参数，$f(t)$ 和 $g(t)$ 是关于 $t$ 的函数。通过改变 $t$ 的值，我们可以得到曲线上不同点的坐标 $(x,y)$。

例如，一个常见的曲线——圆的参数方程可以表示为：

$$\{\begin{array}{l}x=a\cos (t)\\ y=a\sin (t)\end{array}$$

其中，$a$ 是圆的半径，$t$ 是参数，通常取值为 $[0,2\pi ]$。当 $t$ 在这个范围内变化时，$(x,y)$ 就会描绘出一个圆。

对于三维曲线，我们需要三个参数方程来表示，形如：

$$\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\\ z=h(t)\end{array}$$

同样地，通过改变 $t$ 的值，我们可以得到三维曲线上不同点的坐标 $(x,y,z)$。

参数方程的优点在于它们可以描述各种复杂的曲线和曲面，而且通过参数的变化，我们可以很容易地研究曲线或曲面的性质，如切线、法线、曲率等。

需要注意的是，参数方程并不是唯一的，对于同一条曲线，可能存在多种不同的参数表示方式。选择哪种参数方程取决于具体的问题和需要分析的性质。

曲线的参数方程

是描述曲线上各点坐标与参数之间关系的一种数学表示方法。下面将分别介绍曲线的参数方程的定义、公式、计算、例子以及例题。

一、定义

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即对于t的每一个允许值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程。联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

二、公式

参数方程的一般形式可以表示为：

$$\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$$

其中，$f(t)$和$g(t)$是关于参数t的函数，t在定义域内变化时，对应的(x, y)点就在曲线上移动。

三、计算

计算参数方程时，主要是根据给定的参数方程，通过代入参数t的具体值，计算出对应的x、y坐标值，从而得到曲线上的具体点。

四、例子

1. 圆的参数方程

圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$

其中，$\theta$为参数，取值范围通常为$[0,2\pi )$。

2. 椭圆的参数方程

长轴长为a，短轴长为b的椭圆的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=a\cos \varphi \\ y=b\sin \varphi \end{array}$$

其中，$\varphi$为参数，取值范围通常为$[0,2\pi )$。

3. 抛物线的参数方程

以标准方程$y^2=4px$（p为焦距）为例，其参数方程可以表示为：

$$\{\begin{array}{l}x=2p{t}^2\\ y=2pt\end{array}$$

其中，t为参数。

五、例题

例题：求直线$y=2x+1$与圆$x^2+y^2=4$的交点坐标，如果圆的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=2\sin \theta \end{array}$。

解答：

1. 将圆的参数方程代入直线方程中，即：

$$2\sin \theta =2\times 2\cos \theta +1$$

2. 化简得：

$$\sin \theta -2\cos \theta =\frac{1}{2}$$

3. 利用三角函数的和差化积公式，可以进一步求解出$\theta$的值。但此处为了简化，我们可以直接利用数值方法或图形方法找到交点。

4. 通过计算或绘图，可以得到交点对应的参数$\theta$的值，然后代入圆的参数方程，即可得到交点的坐标。

注意：由于此例题涉及到三角函数的运算，且可能存在多解情况，因此实际求解过程可能需要借助数值方法或图形辅助。

以上就是对曲线的参数方程的定义、公式、计算、例子以及例题的详细介绍。

摆线

概述

也称为旋轮线或圆滚线，是一个圆在直线上滚动时，圆上一个固定点的轨迹。为了得到摆线的参数方程，我们可以考虑一个半径为$a$的圆在$x$轴上滚动，同时跟踪圆上一个与$x$轴垂直距离为$a$的点$P$（这个点通常位于圆的最高点）。

当圆滚动时，我们可以设圆心$C$的坐标为$(at,0)$，其中$t$是参数，表示圆滚过的弧长与半径$a$的比值（也可以理解为时间或角度的某种度量）。由于圆在$x$轴上滚动，圆心的$x$坐标会随时间$t$线性增加，而$y$坐标保持为0。

现在，考虑圆上的点$P$。由于它位于圆的最高点，当圆滚动时，它的$x$坐标不仅会因为圆心的移动而增加，还会因为圆自身的滚动而增加额外的距离（即弧长）。这个额外的距离是$a\theta$，其中$\theta$是圆滚过的角度，但由于圆是匀速滚动的，$\theta$实际上与$t$是成比例的（在这种情况下，$\theta =t$，如果我们以弧度为单位衡量角度，并且假设圆每单位时间滚过1弧度的距离）。

然而，由于点$P$同时也在随圆心移动，我们需要从总的$x$坐标中减去由于圆心移动而产生的那部分，即$at$。因此，点$P$的$x$坐标实际上是圆心$x$坐标（$at$）加上由于圆滚动而产生的额外距离（$a\theta -at$，但因为$\theta =t$，所以这部分实际上是$0$），但由于我们考虑的是点$P$相对于圆心的位置（即它在圆的最高点），所以点$P$的$x$坐标最终是圆心$x$坐标减去半径在$x$方向上的投影（这实际上是$a\sin (t-\pi /2)$，但由于正弦函数的周期性，这可以简化为$-a\cos (t)$，再加上圆心的$x$坐标$at$，得到$a(t-\cos (t))$）。

点$P$的$y$坐标则是半径在$y$方向上的投影，即$a\sin (t)$（同样地，这里我们考虑了点$P$相对于圆心的位置，并且由于圆在$x$轴上滚动，所以$y$坐标只与圆的滚动角度有关）。

综上所述，摆线的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\cos (t))\\ y=a\sin (t)\end{array}$$

其中，$a$是圆的半径，$t$是参数，通常取值范围为$[0,2\pi ]$（或根据具体问题的需要取其他范围）。

直线的参数方程

一、定义

直线的参数方程是描述直线上各点坐标与参数之间关系的一种数学表示方法。通过参数的变化，我们可以得到直线上不同点的坐标。

二、公式

直线的一般参数方程可以表示为：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$$

其中，$(x_0,y_0)$是直线上的一点（通常称为起点或定点），$a$和$b$是直线的方向向量（或称为方向数），$t$是参数。当$t$在实数范围内变化时，$(x,y)$就会描绘出整条直线。

特别地，当直线与x轴平行时，其参数方程可以简化为$y=y_0,x=x_0+t$（其中$y_0$为常数）；当直线与y轴平行时，其参数方程可以简化为$x=x_0,y=y_0+t$（其中$x_0$为常数）。

三、计算

计算直线的参数方程时，主要是根据给定的直线条件（如起点、终点、斜率等），确定出参数方程中的各个参数。然后，通过代入参数$t$的具体值，计算出对应的$x$、$y$坐标值，从而得到直线上的具体点。

四、例子

例：求过点$(1,2)$且斜率为$2$的直线的参数方程。

解：根据直线的点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，我们可以得到该直线的普通方程为$y-2=2(x-1)$，即$y=2x$。为了将其转化为参数方程，我们可以令$x_0=1,y_0=2$，并取方向向量为$(1,2)$（因为斜率为2，所以方向向量的y分量是x分量的2倍，这里我们取x分量为1）。于是，该直线的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{\sqrt{5}}t\\ y=2+\frac{2}{\sqrt{5}}t\end{array}$$

其中，$t$为参数（注意这里我们对方向向量进行了单位化，即除以了$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，这是为了使得参数方程中的$t$具有几何意义，即表示从起点出发沿直线方向的距离）。当然，如果不进行单位化，也可以得到另一个形式的参数方程，只是此时$t$的几何意义不那么明显。

五、例题

例：已知直线$l$过点$P(1,1)$，且与直线$x+2y-5=0$垂直。求直线$l$的参数方程。

解：首先，由于直线$l$与直线$x+2y-5=0$垂直，根据直线垂直的性质，我们知道两直线的斜率之积为-1。直线$x+2y-5=0$的斜率为$-\frac{1}{2}$，所以直线$l$的斜率为2（因为$2\times (-\frac{1}{2})=-1$）。

然后，由于直线$l$过点$P(1,1)$，我们可以利用点斜式方程求出直线$l$的普通方程为$y-1=2(x-1)$，即$2x-y-1=0$。

最后，为了将直线$l$的普通方程转化为参数方程，我们可以令$x_0=1,y_0=1$，并取方向向量为$(1,2)$（因为斜率为2，所以方向向量的y分量是x分量的2倍）。于是，直线$l$的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{\sqrt{5}}t\\ y=1+\frac{2}{\sqrt{5}}t\end{array}$$

其中，$t$为参数（同样地，这里我们对方向向量进行了单位化）。

摆线的参数方程

一、摆线的定义

摆线定义为：一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。具体来说，当一个半径为$a$的圆在一条定直线上滚动时，圆上任意一点的轨迹就构成了摆线。这个定义揭示了摆线的基本生成原理。

二、摆线的参数方程

摆线的参数方程是描述摆线上各点坐标与参数之间关系的数学表达式。对于标准的摆线（即圆在水平直线上滚动时，圆上最高点的轨迹），其参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}$$

其中，$a$是圆的半径，$t$是参数，表示圆滚过的弧长与半径的比值（也可以理解为角度，以弧度为单位）。当$t$从$0$变化到$2\pi$时，动点将描画出摆线的第一拱。

三、摆线的计算

利用摆线的参数方程，我们可以进行各种计算，如求摆线的长度、面积、质心坐标等。这些计算通常涉及到微积分的知识，如定积分、弧长公式、面积公式等。

四、摆线的例子

摆线在自然界和工程领域中有着广泛的应用。以下是一些摆线的例子：

• 钟表摆锤：钟表内的摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，这是因为摆锤沿摆线（旋轮线）摆动时，摆动周期与摆幅无关。这一性质使得摆线成为制作精确时钟的关键。
• 最速降线问题：伽利略在1630年提出了一个问题：一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短？瑞士数学家约翰·伯努利在1696年重新提出并解决了这个问题，证明这条曲线就是摆线。

五、摆线的例题

例题：求摆线$x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$（$0\le t\le 2\pi$）与$x$轴所围成的面积。

解：首先，我们需要找到摆线与$x$轴的交点，即解方程$y=0$，得到$t=0,2\pi$（注意这里只考虑第一拱的情况）。然后，利用定积分计算面积：

$$S={\int }_0^{2\pi }a(1-\cos t)dx={\int }_0^{2\pi }a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)dt=a^2{\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{2}dt=3\pi a^2$$

这里用到了摆线参数方程对$t$的导数来替换$dx$，并进行了相应的积分计算。最终得到摆线与$x$轴所围成的面积为$3\pi a^2$。

综上所述，摆线是一种具有独特性质和广泛应用价值的数学曲线。通过其参数方程和微积分知识，我们可以对摆线进行深入的研究和应用。

参考文献

1. 文心一言