傅里叶变换及其应用笔记

预备知识

学习路线

从傅里叶级数，过度到傅里叶变换

扼要描述

傅里叶级数（Fourier series），几乎等同于周期性现象的学习
傅里叶变化（Fourier transform），可作为傅里叶级数的极限情况，是对非周期现象的数学分析。

两者之间的共同点：

分析（analysis），分解一个信号（函数），把它拆分成一系列组成部分，并希望这些组成部分比复杂信号（函数）简单
合成（synthesis），把基本的组成部分重组成信号本身。
分析与合成总是成对出现，我们把复杂的信号分离成简单信号，然后进行我们需要的处理，最后再组合成原始信号。

线性运算

傅里叶分析和合成是由线性运算完成的，线性运算包含有积分和序列。傅里叶分析经常被认为是线性分析的一部分。

周期性现象

周期性现象有两种：
时间上的周期性
空间上的周期性

对称性与周期性的关系

例：圆环上的热量分布：

这个例子认为温度不受时间影响，温度与圆环的位置有关。
我们从圆环上的某点A测试圆环的温度，然后沿着顺时针方向一直测试，最终又会回到A点继续顺时针测试温度，这样我们就能得到呈现周期性的温度值。
初步结果：
目标（圆环）重复---->目标对称------>相关值的周期性

这里引出一个论点：傅里叶分析通常与具有对称性问题相关。

周期性