物理学基础精解【14】

量子力学

关键力学函数

1. 胡克定律（Hooke’s Law）

原理与定义：
胡克定律是描述弹性体（如弹簧）在受力时其形变与所受外力之间关系的物理定律。它表明，在弹性限度内，弹簧的伸长量（或压缩量）与其所受外力成正比。

公式：
$$F=kx$$
其中，$F$ 是弹簧所受的外力，$k$ 是弹簧的劲度系数（只与弹簧的原长、粗细和材料有关），$x$ 是弹簧的伸长量或压缩量。

计算：
给定弹簧的劲度系数和伸长量，可以直接计算出弹簧所受的外力。

例子：
一个劲度系数为100 N/m的弹簧，在受到5 N的拉力时，其伸长量是多少？

解：由胡克定律得，$x=\frac{F}{k}=\frac{5}{100}=0.05$ m。

例题：
一个劲度系数为200 N/m的弹簧，在受到未知力作用时伸长了0.1 m。求该弹簧所受的外力。

解：由胡克定律得，$F=kx=200\times 0.1=20$ N。

2. 万有引力定律（Universal Gravitation Law）

原理与定义：
万有引力定律是牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》中首次阐述的，它表明宇宙中的任何两个物体之间都存在引力作用，引力的大小与两物体的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

公式：
$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$
其中，$F$ 是两物体之间的引力，$G$ 是万有引力常数，$m_1$ 和 $m_2$ 是两物体的质量，$r$ 是两物体之间的距离。

计算：
给定两物体的质量、距离和万有引力常数，可以计算出它们之间的引力大小。

例子：
地球的质量约为$5.972\times 10^{24}$ kg，月球的质量约为$7.348\times 10^{22}$ kg，地月平均距离约为$3.844\times 10^8$ m。求地球对月球的引力大小（取$G=6.674\times 10^{-11}$ N·m²/kg²）。

解：由万有引力定律得，$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=6.674\times 10^{-11}\times \frac{5.972\times 10^{24}\times 7.348\times 10^{22}}{(3.844\times 10^8{)}^2}\approx 1.98\times 10^{20}$ N。

例题：
已知两个行星的质量和它们之间的距离，求它们之间的引力大小。

解：直接代入万有引力定律公式进行计算。

3. 牛顿第二定律（Newton’s Second Law）

原理与定义：
牛顿第二定律表明物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与它的质量成反比。这是描述力、质量和加速度之间关系的基本定律。

公式：
$$F=ma$$
其中，$F$ 是作用在物体上的合力，$m$ 是物体的质量，$a$ 是物体的加速度。

计算：
给定物体的质量和加速度，可以计算出作用在物体上的合力；反之亦然。

例子：
一个质量为2 kg的物体，在受到5 N的拉力作用下，以2.5 m/s²的加速度运动。验证这是否符合牛顿第二定律。

解：由牛顿第二定律得，$F=ma=2\times 2.5=5$ N，与题目中给出的拉力相等，验证正确。

例题：
一个物体在受到未知力作用时，以3 m/s²的加速度运动。已知物体的质量为4 kg，求该物体所受的外力。

解：由牛顿第二定律得，$F=ma=4\times 3=12$ N。

4. 摩擦力公式

原理与定义：
摩擦力是阻碍物体相对运动（或相对运动趋势）的力。它分为静摩擦力和滑动摩擦力两种。

公式：

• 滑动摩擦力：$f=\mu N$，其中$f$ 是滑动摩擦力，$\mu$ 是滑动摩擦因数（只与接触面材料和粗糙程度有关），$N$ 是正压力。
• 静摩擦力：大小由其他力决定，方向总是与物体的相对运动趋势方向相反。

计算：
给定摩擦因数和正压力，可以计算出滑动摩擦力的大小。静摩擦力的大小则需要根据具体情况分析。

例子：
一个质量为5 kg的物体放在水平地面上，受到10 N的水平拉力作用开始滑动。已知地面与物体之间的滑动摩擦因数为0.2，求物体受到的滑动摩擦力大小。

解：由滑动摩擦力公式得，$N=mg=5\times 9.8=49$ N（这里假设重力加速度为9.8 m/s²），$f=\mu N=0.2\times 49=9.8$ N。

例题：
分析一个物体在斜面上的受力情况，包括重力、支持力和静摩擦力，并求静摩擦力的大小和方向。

解：需要根据具体情况分析物体的受力情况，然后利用平衡条件求解静摩擦力的大小和方向。注意静摩擦力的大小和方向都是变化的，以满足物体的平衡条件。

以上只是力学中部分重要函数的介绍。实际上，力学中还有许多其他重要的函数和概念，如动能定理、动量定理、弹性势能公式等，它们共同构成了力学理论的基础。

哈密顿函数的经典力学系统

哈密顿函数在经典力学中扮演着至关重要的角色，它表征了系统的总能量，并且是描述系统运动状态的基本函数之一。以下是对哈密顿函数在经典力学系统中的详细阐述：

1. 定义与背景

哈密顿函数，也被称为哈密顿量或哈密顿能量函数，是由英国科学家W.R.哈密顿于1834年提出的。在经典力学中，它通常使用辛流形（symplectic manifold）上的任何平滑的实值函数H来定义。辛流形则被称为相位空间，其中包含了描述系统运动状态的所有必要信息。

2. 物理意义

哈密顿函数在物理上具有明确的物理意义，它代表了系统的总能量。在经典力学中，当哈密顿函数不含时间t时，它表示系统是一个保守系统，此时哈密顿函数本身就是一个守恒量，即系统的总能量保持不变。此外，如果哈密顿函数不含某个广义坐标，那么与这个广义坐标对应的广义动量是守恒量。

3. 哈密顿方程

哈密顿函数在经典力学中的核心应用是通过哈密顿方程（或正则方程）来描述系统的运动规律。哈密顿方程是一组一阶微分方程组，它们通过哈密顿函数与系统的广义坐标和广义动量（或广义速度）相关联。这些方程在形式上更加简洁和对称，便于进行理论分析和数值计算。

4. 应用范围

哈密顿函数和哈密顿方程广泛应用于力学、物理学以及工程学的各个领域。它们不仅能够描述质点的运动规律，还可以推广到描述质点系、刚体乃至更复杂的物理系统的运动规律。此外，哈密顿力学还是量子力学的数学基础之一，许多量子力学中的概念和原理都可以追溯到经典的哈密顿力学。

5. 哈密顿系统的性质

哈密顿系统是由哈密顿函数和哈密顿方程所描述的动力系统。这类系统具有一系列独特的性质，如相空间体积守恒（刘维尔定理）、可积性、混沌性等。特别是，哈密顿系统的定性理论在解决太阳系稳定性问题等方面取得了重大成就。

6. 示例

以一个简单的物理系统为例，如一个质点在重力场中的自由落体运动。此时，系统的哈密顿函数可以表示为动能和势能之和，即H = T + V = (1/2)mv^2 + mgh，其中m是质点的质量，v是质点的速度，g是重力加速度，h是质点相对于某一参考平面的高度。通过哈密顿方程，我们可以推导出质点的运动轨迹和其他动力学性质。

综上所述，哈密顿函数在经典力学中是一个至关重要的概念，它表征了系统的总能量和运动状态，并通过哈密顿方程描述了系统的运动规律。哈密顿函数和哈密顿方程的应用范围广泛，对于理解和解决物理学中的许多问题具有重要意义。

哈密顿函数

哈密顿函数的定义

哈密顿函数（Hamiltonian function）可以使用辛流形（symplectic manifold）的任何平滑的实值函数H来定义。这个函数H被称为哈密尔顿算子或哈密尔顿能量函数，而辛流形则被称为相位空间。哈密顿函数在辛流形上引入一个特殊的向量场，称为哈密尔顿矢量场。

哈密顿函数的性质

1. 量纲与意义：哈密顿函数具有能量的量纲，但不一定就是系统的机械能。在反映约束条件的约束方程中不含时间的情况下，哈密顿函数具有机械能的意义。
2. 守恒性：如果哈密顿函数不含时间，它本身就是一个守恒量。如果哈密顿函数不含某个广义坐标，与这个广义坐标对应的广义动量是守恒量。

哈密顿函数的公式

哈密顿函数的具体公式依赖于所研究的物理系统。在经典力学中，哈密顿函数通常可以表示为系统动能和势能之差，即

$$H=T-V$$

其中，$T$ 是系统的动能，$V$ 是系统的势能。然而，这只是一个一般性的表达式，实际应用中哈密顿函数的形式可能更加复杂。

哈密顿函数的计算

哈密顿函数的计算通常涉及到对系统动能和势能的计算。在经典力学中，这通常意味着需要将系统的质量、速度、位置等信息代入到动能和势能的公式中，然后求出两者的差值。在量子力学中，哈密顿函数则以算符形式出现，其计算涉及到对算符的运算和本征值的求解。

哈密顿函数的例子

假设有一个简单的物理系统，比如一个质量为$m$ 的质点在重力场中运动。该系统的动能 $T$ 可以表示为 $\frac{1}{2}m{v}^2$，势能 $V$可以表示为 $mgh$（其中$g$ 是重力加速度，$h$是质点的高度）。因此，该系统的哈密顿函数可以表示为

$$H=\frac{1}{2}m{v}^2-mgh$$

哈密顿函数的例题

例题：考虑一个一维谐振子，其质量为$m$，弹性系数为$k$，位移为$x$。求该系统的哈密顿函数。

解答：

1. 动能计算：一维谐振子的动能$T$可以表示为$\frac{1}{2}m{v}^2$。由于$v=\dot{x}$$(\dot{x}$表示位移对时间的导数），所以动能可以写为$T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$。

2. 势能计算：一维谐振子的势能$V$可以表示为$\frac{1}{2}k{x}^2$。

3. 哈密顿函数：将动能和势能代入哈密顿函数的定义式，得到

$$H=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$$

这就是一维谐振子的哈密顿函数。通过这个哈密顿函数，我们可以推导出该系统的运动方程，并进一步分析系统的动力学性质。

自由度（Degree of Freedom, DOF）

是一个核心概念，用于描述物理系统状态可以独立变化的变量数量。以下是对物理系统自由度的定义、性质、计算方法和例子的详细阐述：

一、定义

自由度是指描述一个物理系统状态，能够独立对物理状态结果产生影响的变量的数量。在力学中，它通常指的是确定一个系统在空间中的位置或运动状态所需的最小独立坐标数。

二、性质

1. 独立性：每个自由度都是独立的，即一个自由度的变化不会影响其他自由度的状态。
2. 完整性：所有自由度的组合能够完全描述系统的状态，没有遗漏任何可能影响系统状态的信息。
3. 可变性：自由度代表了系统状态可以独立变化的方向或方式。

三、计算方法

自由度的计算方法通常基于系统的坐标数和约束条件。在力学系统中，一个由N个质点组成的系统通常具有3N个广义坐标（位置坐标和速度坐标）。然而，由于系统中可能存在各种约束条件（如质点间的连接、地面的支持等），这些约束条件会减少系统的独立坐标数。因此，自由度的计算公式可以表示为：

$$自由度=总变量数-约束条件数$$

在实际应用中，需要根据具体的物理系统和约束条件来确定总变量数和约束条件数，从而计算出系统的自由度。

四、例子

1. 质点运动：

   • 一个在三维空间中自由运动的质点具有三个平动自由度（沿x、y、z轴的移动）。
   • 如果质点被限制在二维平面上运动，则它只有两个平动自由度（沿x、y轴的移动）。
   • 如果质点被限制在一条直线上运动，则它只有一个平动自由度（沿该直线的移动）。

2. 刚体运动：

   • 一个在三维空间中自由运动的刚体具有六个自由度：三个平动自由度（沿x、y、z轴的移动）和三个转动自由度（绕x、y、z轴的旋转）。
   • 如果刚体被限制在二维平面上运动，则它只有三个自由度：两个平动自由度（沿x、y轴的移动）和一个转动自由度（绕垂直于平面的轴的旋转）。
   • 如果刚体被固定在一个点上只能绕该点旋转，则它只有三个转动自由度。

3. 机械系统：

   • 一个具有六个自由度的机械臂可以在三维空间中自由移动和旋转到任何位置和方向。
   • 一个具有三个自由度的机械臂则只能沿着三个特定的方向运动，其运动范围受到限制。

这些例子展示了自由度在不同物理系统中的应用和计算方法。通过自由度的分析，我们可以更好地理解系统的运动特性和状态变化。

哈密尔顿能量函数

也被称为哈密尔顿算子或哈密尔顿函数，是科学中的一个重要概念，特别是在物理学和数学领域。以下是对哈密尔顿能量函数的详细解释：

一、定义

哈密尔顿能量函数可以使用辛流形（symplectic manifold）的任何平滑的实值函数H来定义。这个函数H在物理学中通常表示系统的总能量，包括动能和势能。因此，哈密尔顿能量函数是描述系统状态的一个重要工具。

二、性质

1. 能量守恒：在系统的演化过程中，如果哈密尔顿函数不含某个广义坐标，与这个广义坐标对应的广义动量是守恒量。这意味着系统的总能量（哈密尔顿能量函数）在保守力作用下是守恒的。

2. 相空间描述：哈密尔顿能量函数在辛流形上引入一个特殊的向量场，称为哈密尔顿矢量场。这个向量场和辛流形一起构成了相空间（phase space），其中相空间中的点表示系统的状态。

3. 等价性：在矩阵力学和波动力学中，哈密尔顿能量函数在数学上是完全等价的。尽管它们从不同的角度（粒子的运动方程和波动方程）出发，但都可以追溯到经典的哈密尔顿能量函数。

三、应用

1. 经典力学：在经典力学中，哈密尔顿能量函数用于描述系统的运动状态，通过哈密尔顿原理可以推导出系统的运动方程。

2. 量子力学：在量子力学中，哈密尔顿能量函数同样重要。通过哈密尔顿原理，可以推导出薛定谔方程，描述量子体系的演化。量子力学中的哈密尔顿原理是理解微观尺度上的粒子行为非常重要的工具。

3. 统计物理和蒙特卡洛方法：哈密尔顿能量函数在统计物理和蒙特卡洛方法中也有应用。例如，在哈密尔顿蒙特卡洛方法中，通过模拟哈密尔顿动力系统的演化来提议新样本，从而进行高效的采样。

4. 其他领域：哈密尔顿能量函数的概念和方法还广泛应用于光学、电磁学、控制理论等多个领域。

四、示例

考虑一个简单的物理系统，如一个物体在重力场中的自由落体运动。该物体的哈密尔顿能量函数可以表示为动能和势能之和：

$$H(h,v)=E_p(h)+E_k(v)=mgh+\frac{1}{2}m{v}^2$$

其中，$h$ 是物体的高度，$v$ 是物体的速度，$m$ 是物体的质量，$g$ 是重力加速度。这个哈密尔顿能量函数描述了物体在不同状态（高度和速度）下的总能量。

五、总结

哈密尔顿能量函数是描述系统状态和运动规律的重要工具。它在经典力学、量子力学、统计物理等多个领域都有广泛应用。通过哈密尔顿能量函数，我们可以更深入地理解系统的动力学行为和演化规律。

参考文献

1. 文心一言