高等数学 3.7 曲率

一、弧微分

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内具有连续导数。在曲线 $y=f(x)$ 上取固定点 $M_0(x_0,y_0)$ 作为度两户唱的基点，并规定依 $x$ 增大的方向为曲线的正向。对曲线上任一点 $M(x,y)$ ，规定有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{0}M}$ 的值 $s$（简称为弧 $s$）如下：$s$ 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{0}M}$ 的方向与曲线的正向一致时 $s>0$ ，相反时 $s<0$ 。显然，弧 $s$ 与 $x$ 存在函数关系 $s=s(x)$ ，而且 $s(x)$ 是 $x$ 的单调增加函数。

设 $x,x+\Delta x$ 为 $(a,b)$ 内两个邻近的点，它们在曲线 $y=f(x)$ 上的对应点为 $M,M^{\prime }$ ，并设对应于 $x$ 的增量为 $\Delta x$ ，弧 $s$ 的增量为 $\Delta s$ ，那么
$$\Delta s=\stackrel{⌢}{M_0{M}^{\prime }}-\stackrel{⌢}{M_{0}M}=\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}$$
于是
$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)}^2& =\left(\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{\Delta x}\right)={\left(\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{|M{M}^{\prime }{|}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & ={\left(\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}{(\Delta x{)}^2}={\left(\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\left[1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2\right],\\ \frac{\Delta s}{\Delta x}& =\pm \sqrt{{\left(\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\left[1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2\right]}\end{array}$$
令 $\Delta x\to 0$ ，取极限，由于 $\Delta x\to 0$ 时，$M^{\prime }\to M$ ，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即
$$\underset{M^{\prime }\to M}{\lim }\frac{|\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}|}{|M{M}^{\prime }|}=1$$
又
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=y^{\prime },$$
因此得
$$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=\pm \sqrt{1+y^{\prime 2}}$$
由于 $s=s(x)$ 是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有
$$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1)}$$
这就是弧微分公式。

二、曲率及其计算

设曲线 $C$ 是光滑的，在曲线 $C$ 上选定一点 $M_0$ 作为度量弧 $s$ 的基点。设曲线上点 $M$ 对应于弧 $s$ ，在点 $M$ 处切线的倾角为 $\alpha$ （这里假定曲线 $C$ 所在的平面上已设立了 $xOy$ 坐标系），曲线上另外一点 $M^{\prime }$ 对应于弧 $s+\Delta s$ ，在点 $M^{\prime }$ 处切线的倾角为 $\alpha +\Delta \alpha$ ，则弧段 $\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}$ 的长度为 $\Delta s$ ，当动点从点 $M$ 移动到点 $M^{\prime }$ 时切线转过的角度为 $|\Delta \alpha |$ 。

我们用比值 $\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|$ ，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段 $\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}$ 的弯曲程度，把这比值叫做弧段 $\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}$ 的平均曲率，并记作 $\overline{K}$ ，即
$$\overline{K}=\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|.$$
类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当 $\Delta s\to 0$ 时（即 $M^{\prime }\to M$），上述平均曲率的极限叫做曲线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率，即
$$K=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|.$$
在 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}=\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}$ 存在的条件下，$K$ 也可以表示为
$$K=\left|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\right|.\text{\hspace{1em}(2)}$$

对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角 $\alpha$ 不变，$\Delta \alpha =0$ ，$\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}=0$ ，从而 $K=\left|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\right|=0$ 。这就是说，直线上任意点 $M$ 处的曲率都等于零。

设圆的半径为 $a$ ，由图可见圆在点 $M,M^{\prime }$ 处的切线所夹的角 $\Delta \alpha$ 等于圆心角 $MD{M}^{\prime }$ 。但 $\angle MD{M}^{\prime }=\frac{\Delta s}{a}$ ，于是

$$\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}=\frac{\frac{\Delta s}{a}}{\Delta s}=\frac{1}{a},$$
从而
$$K=\left|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\right|=\frac{1}{a}.$$

因为点 $M$ 是圆上任意取定的一点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径 $a$ 的倒数 $\frac{1}{a}$ ，这就是说，圆的弯曲程度到处都一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害。

在一般情况下，我们根据 $(2)$ 式来推导出便于实际计算曲率的公式。

设曲线的直角坐标方程是 $y=f(x)$ ，且 $f(x)$ 具有二阶导数（这时 $f^{\prime }(x)$ 连续，从而曲线是光滑的）。因为 $\tan \alpha =y^{\prime }$ ，所以
$$\begin{gathered} {\sec }^2\alpha \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=y^{\prime \prime }, \\ \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=\frac{y^{\prime \prime }}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}, \end{gathered}$$
于是
$$\mathrm{d}\alpha =\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x.$$
又由 $(1)$ 知道
$$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x.$$
从而根据曲率 $K$ 的表达式 $(3)$ ，有
$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}.\text{\hspace{1em}(3)}$$
设曲线由参数方程
$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}$$
给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法则，求出 $y_x^{\prime }$ 及 $y_x^{\prime \prime }$ ，代入 (3) 得
$$K=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{[{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){]}^{\frac{3}{2}}}.\text{\hspace{1em}(4)}$$

三、曲率圆与曲率半径

设曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x,y)$ 处的曲率为 $K(K\ne 0)$ 。在点 $M$ 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 $D$ ，使 $|DM|=\frac{1}{K}=\rho$ 。以 $D$ 为圆心，$\rho$ 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点 $M$ 处的曲率圆，曲率圆的圆心 $D$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率中心，曲率圆的半径 $\rho$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率半径。

按上述规定可知，曲率圆与曲线在点 $M$ 有相同的切线和曲率，且在点 $M$ 邻近有相同的凹向。因此在实际问题中，常常用曲率圆在点 $M$ 邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，使问题简化。

按上述规定，曲线在点 $M$ 处的曲率 $K(K\ne 0)$ 与曲线在点 $M$ 处的曲率半径 $\rho$ 有如下关系：
$$\rho =\frac{1}{K},K=\frac{1}{\rho }.$$

*四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线

设已知曲线的方程是 $y=f(x)$ ，且其二阶导数 $y^{\prime \prime }$ 在点 $x$ 不为零，则曲线在对应点 $M(x,y)$ 的曲率中心 $D(\alpha ,\beta )$ 的坐标为
$$\{\begin{array}{l}\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }},\\ \beta =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}.\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

当点 $(x,f(x))$ 沿曲线 $C$ 移动时，相应的曲率中心 $D$ 的轨迹曲线 $G$ 称为曲线 $C$ 的渐屈线 ，而曲线 $C$ 称为曲线 $G$ 的渐伸线。所以曲线 $y=f(x)$ 的渐屈线的参数方程为
$$\{\begin{array}{l}\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }},\\ \beta =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}.\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中 $y=f(x),y^{\prime }=f^{\prime }(x),y^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }(x)$ ，$x$ 为参数，直角坐标系$\alpha O\beta$ 与 $xOy$ 坐标系重合。

原文链接：高等数学 3.7 曲率