【二等奖论文】2024年华为杯研究生数学建模F题成品论文（后续会更新）

脉冲星是一类高速自转的中子星，其自转形成规律性脉冲信号，类似于“宇宙中的灯塔”，因此被认为是极为精确的时钟。X射线脉冲星导航利用脉冲星信号为航天器提供时间和空间参考。通过比较脉冲信号到达航天器和太阳系质心的时间差，能够实现航天器的精确定位。为了准确计算该时间差，需要考虑卫星的轨道运动、脉冲星光子传播过程中的几何时延、Shapiro时延、引力红移效应及相对论效应等多种复杂因素。

2016年，我国发射的XPNAV-1卫星观测了蟹状星云脉冲星（PSR B0531+21）的X射线信号。该任务要求通过光子到达时间模拟和折叠，得到脉冲星的精确计时轮廓，为脉冲星导航系统的发展提供重要数据支持。

针对问题1，首先，利用给定的轨道根数 (偏心率 e 、角动量 h、轨道倾角 i 、升交点赤经 Ω

 、近地点幅角 ω、和真近点角 θ )，通过公式计算卫星在轨道平面内的径向距离 r 以及径向速度 vr

 和切向速度 vθ。接着，通过旋转矩阵将卫星的二维轨道位置和速度从轨道平面转换到地心天球参考系 (GCRS) 中的三维位置和速度。最终，计算出卫星在特定时刻的三维位置 X,Y,Z和速度分量 Vx,Vy,Vz，验证卫星的三维位置和速度计算是准确的，且与轨道参数吻合。

针对问题2，建立一个脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的几何传播时延模型。针对问题2，首先利用脉冲星辐射平行光的假设，忽略太阳系天体的自转和扁率，简化光子的传播路径问题。其次，光子到达卫星的时刻为MJD 57062.0（TT时间尺度），我们需要将卫星在地心天球参考系（GCRS）中的坐标转换为太阳系质心参考系（SSB）。通过DE系列历表和卫星的GCRS坐标，计算了卫星在太阳系质心参考系中的位置。最后，通过比较脉冲星光子到达卫星和太阳系质心的距离差来计算几何传播时延。

针对问题3，首先，需要根据脉冲星的自行参数来计算脉冲星在给定时刻的精确位置。通过附件4中的脉冲星赤经和赤纬的参考历元和自行参数，计算脉冲星相对于当前时刻的赤经和赤纬变化，得到脉冲星的当前位置。其次，使用 DE 系列历表中的数据获取太阳系质心与航天器的精确位置。通过计算脉冲星到太阳系质心和航天器的距离差，得出几何传播时延。接着，我们需要计算光子经过太阳引力场时的 Shapiro 时延，以及太阳和航天器间引力势差产生的 引力红移时延。最后，结合航天器的速度，计算由于狭义相对论效应引起的动钟效应。将几何传播时延、Shapiro 时延、引力红移时延和动钟效应叠加，得到脉冲星光子到达航天器与太阳系质心之间的总时延。

针对问题4，考虑背景光子流量密度与脉冲星光子流量密度，并在给定的时间内对脉冲信号进行仿真。建立X射线脉冲星光子序列模型，模拟脉冲星辐射的光子序列。然后根据脉冲星自转周期将光子时间序列转换为相位空间，利用仿真的脉冲星光子序列折叠出脉冲轮廓。最后，通过探测器有效面积增加、增加光子数量、使用标准轮廓函数改进提高仿真精度。

关键词：几何传播时延，坐标变换，引力红移时延，光子到达时间分析，高精度时间测量

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X射线脉冲星光子到达时间建模........................................................................ 2

摘要....................................................................................................................... 2

一、 问题重述..................................................................................................... 4

1.1 问题背景................................................................................................ 4

1.2 问题回顾与分析.................................................................................... 4

二、 模型假设..................................................................................................... 5

三、 符号说明..................................................................................................... 6

四、 问题求解与分析......................................................................................... 8

4.1 问题1求解与分析................................................................................ 8

4.1.1 问题1分析................................................................................. 8

4.1.2 问题1建模与求解..................................................................... 9

4.1.3 问题1结果验证....................................................................... 12

4.1.4 问题1结果分析....................................................................... 13

4.2 问题2求解与分析.............................................................................. 13

4.2.1 问题2分析............................................................................... 13

4.2.2 问题2模型与求解................................................................... 13

4.3 问题3求解与分析.............................................................................. 17

4.3.1 问题3分析............................................................................... 17

4.3.2 问题3建模与求解................................................................... 18

4.4 问题4求解与分析.............................................................................. 24

4.4.1 问题4分析............................................................................... 24

4.4.2 问题4建模与求解................................................................... 24

五、 模型总结................................................................................................... 31

5.1 模型优点.............................................................................................. 31

5.2 模型缺点.............................................................................................. 31

5.3 模型推广.............................................................................................. 32

六、 参考文献................................................................................................... 33

七、 附录........................................................................................................... 33

脉冲星是一类高速自转的中子星，其自转形成规律性脉冲信号，类似于“宇宙中的灯塔”，因此被认为是极为精确的时钟。X射线脉冲星导航利用脉冲星信号为航天器提供时间和空间参考。通过比较脉冲信号到达航天器和太阳系质心的时间差，能够实现航天器的精确定位。为了准确计算该时间差，需要考虑卫星的轨道运动、脉冲星光子传播过程中的几何时延、Shapiro时延、引力红移效应及相对论效应等多种复杂因素。

2016年，我国发射的XPNAV-1卫星观测了蟹状星云脉冲星（PSR B0531+21）的X射线信号。该任务要求通过光子到达时间模拟和折叠，得到脉冲星的精确计时轮廓，为脉冲星导航系统的发展提供重要数据支持。

1. 1. 问题回顾与分析

问题1：请建立卫星轨道根数与其位置和速度关系的数学模型。若某一光子到达探测器时刻XPNAV-1卫星对应的轨道根数为，请计算该时刻卫星在地心天球参考系（Geocentric Celestial Reference System，GCRS）中的三维位置与速度，并对轨道参数一致性和计算结果进行验证。

问题2：假设脉冲星辐射的X射线光子信号为平行光，忽略太阳系天体的自转和扁率，请建立脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的真空几何传播时延模型。若光子到达卫星时刻对应的MJD（约化儒略日）为57062.0（TT时间尺度，其含义见附录），根据问题1中卫星在GCRS中的位置坐标，在得到其在太阳系质心坐标系中位置基础上，计算脉冲星光子到达卫星与太阳系质心的传播路径时间差。

问题3：在建立脉冲星光子到达航天器（卫星等）与太阳系质心之间的精确转换时延模型时，需要考虑脉冲星自行的影响以及几个关键的时延因素：几何传播时延、Shapiro时延、引力红移时延和狭义相对论的动钟变慢效应。在考虑脉冲星自行以及上述时延因素下，请建立脉冲星光子到达航天器与太阳系质心的精确转换时延模型。若光子到达探测器的时刻对应MJD为58119.1651507519，根据问题1中卫星的位置、速度以及附件4提供的脉冲星位置参考历元、自行参数信息，计算脉冲星光子到达航天器与太阳系质心间的时延（附件3提供了太阳系天体位置信息的DE系列历表）。

问题4：光子到达时刻的仿真可以更清楚地了解脉冲星信号的辐射过程。此外，X射线探测器发射成本高，信号仿真可以在缺少实测数据时开展脉冲星深空导航与守时方法研究。

问题分析：四个问题需要建立数学模型进行解决，问题1要求建立卫星轨道根数与位置、速度之间的数学模型。通过开普勒定律和轨道参数转换公式，计算卫星在地心参考系中的三维坐标和速度。问题2需要基于光子到达卫星和太阳系质心的时间差，建立真空几何传播时延模型。通过卫星在参考系中的位置，计算光子从脉冲星传播到两者之间的路径时间差。问题3要求在几何时延基础上，考虑包括Shapiro时延、引力红移效应、动钟变慢效应及脉冲星自行等因素，建立更精确的光子到达时间转换模型。问题4要求仿真X射线脉冲星的光子到达时间序列，利用非齐次泊松分布进行模拟，并通过周期折叠生成脉冲轮廓，进而提出提高仿真精度的方法。

• 模型假设

为了方便模型的建立与模型的可行性，我们这里首先对模型提出一些假设，使得模型更加完备，预测的结果更加合理。

为了方便我们模型的建立与求解过程 ，我们这里对使用到的关键符号进行以下说明：

（注：这里只列出论文各部分通用符号，个别模型单独使用的符号在首次引用时会进行说明。）

针对问题1，首先，利用给定的轨道根数 (偏心率 e、角动量 h、轨道倾角 i 、升交点赤经 Ω 、近地点幅角 ω、和真近点角 θ )，通过公式计算卫星在轨道平面内的径向距离 r以及径向速度 vr和切向速度 vθ

 。接着，通过旋转矩阵将卫星的二维轨道位置和速度从轨道平面转换到地心天球参考系 (GCRS) 中的三维位置和速度。最终，计算出卫星在特定时刻的三维位置 X,Y,Z和速度分量 Vx,Vy,Vz，验证卫星的三维位置和速度计算是准确的，且与轨道参数吻合。

1、确定轨道根数与初始条件

给定的特征有偏心率 e ，用于描述轨道的偏离圆形的程度；角动量 h，与卫星的轨道速度和轨道形状有关；轨道倾角 i，用于描述卫星轨道平面相对于参考平面的倾斜角度；真近点角 θ，用于描述卫星在椭圆轨道上某一时刻的位置角；升交点赤经 Ω，用于描述轨道平面与赤道平面交点在天球上的位置；近地点幅角 ω，用于描述轨道椭圆的方向。

2、计算卫星在轨道平面中的位置和速度

（1）根据给定的真近点角 θ，我们可以首先计算卫星在轨道平面中的径向距离 r:r=h2μ(1+ecos⁡θ)其中， μ是地球的标准引力参数，约为 398600.4418 km3/s2，是用于描述地球引力的常数。

（2）径向速度的计算公式为:

vr=μhesin⁡θ其中，μ是地球引力常数，h是角动量，e是偏心率,θ是真近点角。

（3）切向速度的计算公式为:

vθ=hr

（4）在轨道平面内的二维位置和速度向量:

位置向量:

rorbit =[rcos⁡θ,rsin⁡θ,0]

速度向量:

vorbit =vrcos⁡θ-vθsin⁡θ,vrsin⁡θ+vθcos⁡θ,0

3、从轨道平面转换到地心天球参考系（GCRS）

为了将位置和速度从轨道平面转换到地心天球参考系，需要进行三次旋转。这个转换过程用到旋转矩阵。

（1）绕 z轴旋转 Ω(升交点赤经)：

Rz(Ω)=cos⁡Ω-sin⁡Ω0sin⁡Ωcos⁡Ω0001

（2）绕 x轴旋转 

 (轨道倾角):

Rx(i)=1000cos⁡i-sin⁡i0sin⁡icos⁡i

（3）绕 z轴旋转 ω(近地点幅角):

Rz(ω)=cos⁡ω-sin⁡ω0sin⁡ωcos⁡ω0001

（4）总的旋转矩阵: 将位置和速度从轨道平面转化到地心天球参考系，使用旋转矩阵 ：R=Rz(-Ω)Rx(-i)Rz(-ω)将二维的 rorbit和 vorbit 转换为三维的地心天球参考系 (GCRS) 位置和速度:

rGCRS=Rrorbit vGCRS=Rvorbit 得到的卫星在地心天球参考系（Geocentric Celestial Reference System，GCRS）中的三维位置X,Y,Z与速度vx,vy,vz结果如下表：

表1 结果

可视化结果如下所示：

图1

其中，红色圆点代表当前卫星的位置，蓝色半透明球体表示地球。

4.1.3 问题1结果验证

在得到卫星在地心天球参考系（Geocentric Celestial Reference System，GCRS）中的三维位置X,Y,Z与速度vx,vy,vz后，接下来进行验证。

（1）角动量 h的验证:通过计算卫星位置和速度的叉乘，得到角动量的大小 h，然后与给定的 h

 值比较。如果误差很小，说明计算出的轨道符合给定的轨道参数。

（2）偏心率 e的验证: