【C++】二叉搜索树的底层以及实现

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⭐一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST），又称为二叉查找树或二叉排序树，是一种特殊的二叉树结构。其具有以下几个性质：
• 左子树： 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
• 右子树： 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
• 递归： 它的左右子树也分别为二叉搜索树。

注： 二叉搜索树可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用的场景来定义。

🚀二、二叉搜索树性能分析

最优情况下(即树是平衡的)，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： O(log2 N)
最差情况下(即树退化成为一个链表)，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： O( N / 2)

综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)
但这样的效率显然是不满足我们需求的，我们后面学到的AVL树和红黑树，才能适用于我们内存中存储和搜索数据。

注：虽然二分查找也能实现O(logN) 级别的查找效率，但它有两大缺陷：
1.需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2.插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据

这也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

🏝️三、二叉搜索树的操作

1. 插入

插入节点操作的具体步骤如下：
1.树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2.树不空，按二叉搜索树性质，插入的值比当前结点大时往右走，插入值比当前结点小时往左左，直到找到空位置时，插入新结点。
3.如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，直到找到空位置，插人新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

下面是插入节点操作的代码实现：

template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);	return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}

2. 查找

查找节点操作的具体步骤如下：
1.从根开始进行比较，查找x，x比根的值大则往右边进行查找，x比根的值小则往左边进行查找。
2.最多查找高度次，如果走到空时还没找到，则说明这个值不存在。
3.如果不支持插入相等的值，则找到x即可返回
4.如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3进行返回

查找节点操作具体代码如下：

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;
}

3. 删除

删除节点的操作就是在树中移除一个指定的节点。但删除操作相对复杂一点，因为我们要考虑删除过后如何保持树的有序性。

删除节点操作具有以下四种情况：
1.要删除结点N左右孩子均为空
2.要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
3.要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
4.要删除的结点N左右孩子结点均不为空

那么如何解决它们所对应的情况呢？其对应的方案：
1.把N结点的父亲对应的孩子指针指向空，直接删除N结点
2.把N结点的父亲对应的孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
3. 把N结点的父亲对应的孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
4. 因为我们无法直接删除N结点，所以只能用替换法进行删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)来替代N，因为这两个结点中任意⼀个放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。
（注：替代N的意思就是将N和R的两个结点的值交换，转变成删除R的结点）

删除节点操作具体代码如下：

bool erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){//右为空if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_left;	}else{parent->_left = cur->_left;}}delete cur;}else{//左右都不为空//右子树最左节点Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceparent->_left == replace){replaceparent->_left = replace->_right;}else{replaceparent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;
}

4. 遍历节点

遍历节点是按照一定的顺序去访问树中的所有节点，常用的遍历方式有：前序遍历、中序遍历和后序遍历。在这里我们采用中序遍历的方法，因为它可以按小到大的顺序输出树中所有的值。

void _Inorder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_Inorder(root->_left);cout << root->_key << " ";_Inorder(root->_right);
}

🎄四、二叉搜索树的实现（K模型）

下面是二叉树实现的源代码：

template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){//右为空if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_left;}else{parent->_left = cur->_left;}}delete cur;}else{//左右都不为空//右子树最左节点Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceparent->_left == replace){replaceparent->_left = replace->_right;}else{replaceparent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}
private:void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_Inorder(root->_left);cout << root->_key << " ";_Inorder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};

🎉五、二叉搜索树的应用

1. K模型

在K模型中，搜索二叉树仅存储关键码（key）,不存储与关键码相关联的值（Value）,关键码即为需要搜索或存储的值。
K模型代码可以参考搜索二叉树的实现。

特点：存储简单(每个节点只存储了一个键值，减少了空间)；查找效率高。

2. KV模型

二叉搜索树的KV模型是一种特殊的数据结构。在KV模型中，每个节点不仅存储一个键（Key），还存储一个与该键相关联的值（Value）。这种模型在处理需要快速通过键来检索值的场景时非常有用，如简单的中英互译、统计一篇文章中单词出现的次数等。

KV模型的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，因为修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

下面是KV模型的二叉搜索树的代码实现：

template<class K,class V>
struct BSTNode
{K _key;V _value;BSTNode<K,V>* _left;BSTNode<K,V>* _right;BSTNode(const K& key,const V& value):_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};template<class K,class V>
class BSTree
{using Node = BSTNode<K,V>;
public:bool Insert(const K& key,const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key,value);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key,value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){//右为空if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{//左右都不为空//右子树最左节点Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceparent->_left == replace){replaceparent->_left = replace->_right;}else{replaceparent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}
private:void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_Inorder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_Inorder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};