【数学二】无穷小量定义、性质、比较

考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

无穷小量

无穷小的定义

若函数$f(x)$当$x\to x_0(或x\to \infty )$时的极限为零，则称$f(x)为x\to x_0(或x\to \infty )$时的无穷小量。
TIPS:

1、以0为极限值的变量，称为无穷小量；
2、指明极限过程，例如$x\to x_0(或x\to \infty )$

无穷小的性质

1、 有限个无穷小的和仍是无穷小；
2、 有限个无穷小的积仍是无穷小；
3、 无穷小量与有界量的积仍是无穷小；

练习1：$$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2(4\sin \frac{1}{x}-3)=$$

知识点: 无穷小量与有界量的积仍是无穷小
解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0 \\ (4\sin \frac{1}{x}-3)为有界量 \\ 所以\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2(4\sin \frac{1}{x}-3)=0 \end{gathered}$$

无穷小的比较

设$\alpha 、\beta$是在同一极限过程中的无穷小，且$\alpha \ne 0$，则：
1、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta =\circ (\alpha )$;
2、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=\infty$，则称$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小；
3、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，则称$\beta$是比$\alpha$同阶的无穷小；
4、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=1$，则称$\beta$是比$\alpha$等价的无穷小记作$\beta \sim \alpha$;
5、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0$，则称$\beta$是比$\alpha$的k阶无穷小；

常用等价无穷小(都可使用麦克劳林公式推导)：当$x\to 0$时：$$\begin{gathered} \sin x\sim x，\ln (x+1)\sim x \\ {e}^x-1\sim x，1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2 \\ \sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x，x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3 \\ x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3，x-\tan x\sim -\frac{1}{3}{x}^3 \\ x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2，\tan x\sim x \\ \arcsin x\sim x，\arctan x\sim x \\ {a}^x-1\sim x\ln a \end{gathered}$$

练习1：设$\cos x-1=x\sin \alpha (x)$，其中$|\alpha (x)|<\frac{\pi }{2}$，则当$x\to 0$时，$\alpha (x)是x$ 的?

知识点： $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$、$\sin x\sim x$、无穷小的比较
解：$$\begin{gathered} \cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2，sin\alpha (x)-\frac{1}{2}x \\ \sin \alpha (x)\sim \alpha (x) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \alpha (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}x}{x}=-\frac{1}{2}，即 \\ \alpha (x)是x同阶无穷小 \end{gathered}$$

练习2：设当$x\to 0$时，$(1-\cos x)\ln (1+x^2)是比x\sin x^n$高阶的无穷小，而$x\sin x^n是比(e^{x^2}-1)$高阶的无穷小，则正整数$n等于$？

知识点:
1、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta =\circ (\alpha )$;
2、$\sin x\sim x，\ln (x+1)\sim x，e^x-1\sim x，1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)\ln (1+x^2)}{x\sin x^n}=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\sin x^n}{(e^{x^2}-1)}=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)\ln (1+x^2)}{x\sin x^n}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2{x}^2}{x^{n+1}}=0 \\ 即n+1<4\Rightarrow n<3 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\sin x^n}{(e^{x^2}-1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{n+1}}{x^2} \\ 即n+1>2\Rightarrow n>1 \\ 综上所得：1<n<3，n属于正数，即n=2 \end{gathered}$$

练习3：当$x\to 0$时，若$x-\tan x$与$x^k$是同阶无穷小，则$k=$?

知识点：
1、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，则称$\beta$是比$\alpha$同阶的无穷小；
2、$x-\tan x\sim -\frac{1}{3}{x}^3$

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^k}=c\ne 0 \\ x-\tan x\sim -\frac{1}{3}{x}^3 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{3}{x}^3}{x^k}=c \\ k=3 \end{gathered}$$

练习4：当$x\to 0$时，若$f(x)=x-\sin ax与g(x)=x^2\ln (1-bx)$是等价无穷小量，则a,b?

知识点：
1、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=1$，则称$\beta$是比$\alpha$等价的无穷小记作$\beta \sim \alpha$;
2、$\ln (x+1)\sim x、x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
3、洛必达法则

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin ax}{x^2\ln (1-bx)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin ax}{x^2(-bx)}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-a\cos ax}{x^2(-bx)}=1\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }1-a\cos ax=0 \\ 即1-a\cos 0=0\Rightarrow a=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2(-bx)}=1 \\ x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{6}{x}^3}{x^2(-bx)}=1\Rightarrow b=-\frac{1}{6} \\ 故a=1，b=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

练习5：当$x\to 0^{+}$，与$\sqrt{x}$等价无穷小量的是？

A、$1-e^{\sqrt{x}}$
B、$\ln (1+\sqrt{x})$
C、$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
D、$1-\cos \sqrt{x}$

知识点：
1、若${\lim }_{x\to x^0}\frac{\beta }{\alpha }=1$，则称$\beta$是比$\alpha$等价的无穷小记作$\beta \sim \alpha$;
2、等价无穷小：$$\begin{gathered} \ln (x+1)\sim x \\ {e}^x-1\sim x，1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2 \\ \sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x \end{gathered}$$

解：$$\begin{gathered} 1-e^{\sqrt{x}}\sim -\sqrt{x}，同阶无穷小 \\ \ln (1+\sqrt{x})\sim \sqrt{x}，等价无穷小 \\ \sqrt{1+\sqrt{x}}-1\sim \frac{1}{2}\sqrt{x}，同阶无穷小 \\ 1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{1}{2}x，高阶无穷小 \\ 故选B \end{gathered}$$

极限值与无穷小之间的关系

$$\lim f(x)=A⟺f(x)=A+\alpha (x)$$
其中$\lim \alpha (x)=0$
练习1：已知$$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{f(x)-1}{x}-\frac{\sin x}{x^2}]=2$$，则${\lim }_{x\to 0}f(x)=$_____?

解： $$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }[\frac{f(x)-1}{x}-\frac{\sin x}{x^2}]=2⟺[\frac{f(x)-1}{x}-\frac{\sin x}{x^2}]=2+\alpha (x) \\ 解得：f(x)=2x+\frac{\sin x}{x}+x\alpha (x)+1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0+1+0+1=2 \end{gathered}$$