[leetcode] 69. x 的平方根

题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

• 0 <= x <= 2³¹ - 1

解题方法

方法一：二分查找

题目说了x在[0, 2³¹-1]之间，那么我们取左边界l为0，右边界r为x，取中间值mid计算乘积是否小于等于x。若小于等于则l = mid + 1，否则r = mid -1；一直取mid计算乘积不断遍历，直到左边界超过右边界，此时右边界r即为最接近x的平方根。

java代码

public int mySqrt(int x) {int l = 0, r = x;while (l <= r) {int mid = l + (r - l)/ 2;// mid相乘可能超过int整形范围，故值取long类型做比较long result = (long)mid * (long)mid;if (result > (long) x) {r = mid - 1;} else {l = mid + 1;}}return r;
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(logx)$
空间复杂度：$O(1)$

方法二：牛顿迭代法

我们设$f(x)=x^2-C$，$C$为题目中输入，求函数的零点即为$C$的平方根。因为$x$是非负整数，所以$x$的平方根一定小于等于$x$，在单根附近具有平方收敛的特性，可以使用牛顿迭代法求解。

牛顿迭代法的公式如下：

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

我们将$f(x)=x^2-C$带入上述方程，即可求出

$x_{n+1}=\frac{1}{2}\ast (x_n+\frac{C}{x_n})$

借用下力扣题解图，我们取$x_0=C$，带入公式即可求出$x_0$点的切线与$x$轴的交点$x_1$，带入$x_1$求出$x_2$，依次类推，直到$x_{n+1}$与$x_n$非常接近时，我们即取$x_{n+1}$作为最终解。

java代码

public int mySqrt(int x) {if (x == 0) {return 0;}double C = x, x0 = x;while (true) {double xi = 0.5 * (x0 + C / x0);if (Math.abs(x0 - xi) < 1e-7) {break;}x0 = xi;}return (int) x0;
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(logx)$
空间复杂度：$O(1)$

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