高等数学 3.3 泰勒公式
泰勒（Taylor）中值定理1 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处具有 n n n 阶导数，那么存在 x 0 x_0 x0 的一个邻域，对于该领域内的任一 x x x ，有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) , (1) f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) , \tag{1} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x),(1)
其中
R n ( x ) = o ( ( x − x 0 ) n ) . (2) R_n(x) = o((x - x_0)^n). \tag{2} Rn(x)=o((x−x0)n).(2)
公式 ( 1 ) (1) (1) 称为 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处（或按 x − x 0 x - x_0 x−x0 的幂展开）的带有佩亚诺（Peano）余项的 n n n 阶泰勒公式，而 R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 的表达式 ( 2 ) (2) (2) 称为佩亚诺余项，它就是用 n n n 次泰勒多项式来近似表达 f ( x ) f(x) f(x) 所产生的误差，这一误差是当 x → x 0 x \to x_0 x→x0 时比 ( x − x 0 ) n (x - x_0)^n (x−x0)n 高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小。
泰勒中值定理2 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 的某个邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0) 内具有 n + 1 n + 1 n+1 阶导数，那么对任一 x ∈ U ( x 0 ) x \in U(x_0) x∈U(x0) ，有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) , (3) f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) , \tag{3} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x),(3)
其中
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 (4) R_n(x) = \cfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} \tag{4} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1(4)
公式 ( 3 ) (3) (3) 称为 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处（或按 x − x 0 x - x_0 x−x0 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 n n n 阶泰勒公式，而 R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 的表达式 ( 4 ) (4) (4) 称为拉格朗日余项。
当 n = 0 n = 0 n=0 时，泰勒公式 ( 3 ) (3) (3) 变成拉格朗日中值公式
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) ( ξ 在 x 0 与 x 之间 ) f(x) = f(x_0) + f^{'}(\xi) (x - x_0) \quad (\xi 在 x_0 与 x 之间) f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0)(ξ在x0与x之间)
因此，泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推广。
由泰勒中值定理2可知，以多项式 p n ( x ) p_n(x) pn(x) 近似表达函数 f ( x ) f(x) f(x) 时，其误差为 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn(x)∣ 。如果对于某个固定的 n n n ，当 x ∈ U ( x 0 ) x \in U(x_0) x∈U(x0) 时， ∣ f ( n + 1 ) ( x ) ∣ ⩽ M |f^{(n + 1)}(x)| \leqslant M ∣f(n+1)(x)∣⩽M ，那么有估计式
∣ R n ( x ) ∣ = ∣ f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 ∣ ⩽ M ( n + 1 ) ! ∣ x − x 0 ∣ n + 1 (5) |R_n (x)| = \left| \cfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} \right| \leqslant \cfrac{M}{(n + 1)!} |x - x_0|^{n + 1} \tag{5} ∣Rn(x)∣= (n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1 ⩽(n+1)!M∣x−x0∣n+1(5)
在泰勒公式 ( 1 ) (1) (1) 中，如果取 x 0 = 0 x_0 = 0 x0=0 ，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + o ( x n ) . (6) f(x) = f(0) + f^{'}(0)x + \cfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) . \tag{6} f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+o(xn).(6)
在泰勒公式 ( 3 ) (3) (3) 中，如果取 x = 0 x = 0 x=0 ，那么 ξ \xi ξ 在0与 x x x 之间。因此可以令 ξ = θ x ( 0 < θ < 1 ) \xi = \theta x (0 < \theta < 1) ξ=θx(0<θ<1) ，从而泰勒公式 ( 3 ) (3) (3) 变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! x n + 1 (7) f(x) = f(0) + f^{'}(0)x + \cfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cfrac{f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!} x^{n + 1} \tag{7} f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+(n+1)!f(n+1)(θx)xn+1(7)
由 ( 6 ) (6) (6) 或 ( 7 ) (7) (7) 可得近似公式
f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n , f(x) \approx f(0) + f^{'}(0) x + \cfrac{f^{''}(0)}{2!} x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n , f(x)≈f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn,
估计误差式 ( 5 ) (5) (5) 相应地变成
∣ R n ( x ) ∣ ⩽ M ( n + 1 ) ! ∣ x ∣ n + 1 (8) |R_n (x)| \leqslant \cfrac{M}{(n + 1)!} |x|^{n + 1} \tag{8} ∣Rn(x)∣⩽(n+1)!M∣x∣n+1(8)
例1 写出函数 f ( x ) = e x f(x) = \mathrm{e}^x f(x)=ex 的带有拉格朗日余项的 n n n 阶麦克劳林公式。
解：因为
f ′ ( x ) = f ′ ′ ( x ) = ⋯ = f ( n ) ( x ) = e x , f^{'}(x) = f^{''}(x) = \cdots = f^{(n)} (x) = \mathrm{e}^x , f′(x)=f′′(x)=⋯=f(n)(x)=ex,
所以
f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = ⋯ = f ( n ) ( 0 ) = 1 f(0) = f^{'}(0) = f^{''}(0) = \cdots = f^{(n)} (0) = 1 f(0)=f′(0)=f′′(0)=⋯=f(n)(0)=1
把这些值代入公式 ( 7 ) (7) (7) ，并注意到 f ( n + 1 ) ( θ x ) = e θ x f^{(n + 1)}(\theta x) = \mathrm{e}^{\theta x} f(n+1)(θx)=eθx 便得
e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + e θ x ( n + 1 ) ! x n + 1 ( 0 < θ < 1 ) . \mathrm{e}^x = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^n}{n!} + \cfrac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1). ex=1+x+2!x2+⋯+n!xn+(n+1)!eθxxn+1(0<θ<1).
由这个公式可知，把 e x \mathrm{e}^x ex 用它的 n n n 次泰勒多项式表达为
e x ≈ 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! , \mathrm{e}^x \approx 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^n}{n!} , ex≈1+x+2!x2+⋯+n!xn,
这时所产生的误差为
∣ R n ( x ) ∣ = ∣ e θ x ( n + 1 ) ! x n + 1 ∣ ⩽ e ∣ x ∣ ( n + 1 ) ! ∣ x ∣ n + 1 ( 0 < θ < 1 ) . |R_n (x)| = \left| \cfrac{\mathrm{e^{\theta x}}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \right| \leqslant \cfrac{\mathrm{e}^{|x|}}{(n + 1)!} |x|^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1). ∣Rn(x)∣= (n+1)!eθxxn+1 ⩽(n+1)!e∣x∣∣x∣n+1(0<θ<1).
如果取 x = 1 x = 1 x=1 ，则得无理数 e \mathrm{e} e 的近似式为
e ≈ 1 + 1 + 1 2 ! + ⋯ + 1 n ! , \mathrm{e} \approx 1 + 1 + \cfrac{1}{2!} + \cdots + \cfrac{1}{n!} , e≈1+1+2!1+⋯+n!1,
其误差
∣ R n ∣ < e ( n + 1 ) ! < 3 ( n + 1 ) ! . |R_n| < \cfrac{\mathrm{e}}{(n + 1)!} < \cfrac{3}{(n + 1)!} . ∣Rn∣<(n+1)!e<(n+1)!3.
当 n = 10 n = 10 n=10 时，可算出 e ≈ 2.718282 \mathrm{e} \approx 2.718282 e≈2.718282 ，其误差不超过 1 0 − 6 10^{-6} 10−6 .
例2 求 f ( x ) = sin x f(x) = \sin x f(x)=sinx 的带有拉格朗日余项的 n n n 阶麦克劳林公式。
解：因为
f ′ ( x ) = cos x , f ′ ′ ( x ) = − sin x , f ′ ′ ′ ( x ) = − cos x , f ( 4 ) ( x ) = sin x , ⋯ , f ( n ) ( x ) = sin ( x + n π 2 ) , f^{'}(x) = \cos x , f^{''}(x) = -\sin x , f^{'''}(x) = -\cos x , \\ f^{(4)}(x) = \sin x, \cdots , f^{(n)}(x) = \sin{\left( x + \cfrac{n \pi}{2} \right)} , f′(x)=cosx,f′′(x)=−sinx,f′′′(x)=−cosx,f(4)(x)=sinx,⋯,f(n)(x)=sin(x+2nπ),
所以
f ( 0 ) = 0 , f ′ ( 0 ) = 1 , f ′ ′ ( 0 ) = 0 , f ′ ′ ′ ( 0 ) = − 1 , f ( 4 ) ( 0 ) = 0 f(0) = 0, f^{'}(0) = 1, f^{''}(0) = 0, f^{'''}(0) = -1, f^{(4)}(0) = 0 f(0)=0,f′(0)=1,f′′(0)=0,f′′′(0)=−1,f(4)(0)=0
等。它们顺序循环地取四个数 0 , 1 , 0 , − 1 0, 1, 0, -1 0,1,0,−1 ，于是按公式 ( 7 ) (7) (7) 得（令 n = 2 m n = 2m n=2m）
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) 2 m − 1 x 2 m − 1 ( 2 m − 1 ) ! + R 2 m ( x ) , \sin x = x - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{2m - 1} \cfrac{x^{2m -1}}{(2m - 1)!} + R_{2m}(x) , sinx=x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)2m−1(2m−1)!x2m−1+R2m(x),
其中
R 2 m ( x ) = sin [ θ x + ( 2 m + 1 ) π 2 ] ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1 = ( − 1 ) m cos θ x ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1 ( 0 < θ < 1 ) . R_{2m}(x) = \cfrac{\sin{[\theta x + (2m + 1) \cfrac{\pi}{2}]}}{(2m + 1)!} x^{2m + 1} = (-1)^m \cfrac{\cos \theta x}{(2m + 1)!} x^{2m + 1} \quad (0 < \theta < 1). R2m(x)=(2m+1)!sin[θx+(2m+1)2π]x2m+1=(−1)m(2m+1)!cosθxx2m+1(0<θ<1).
类似的还可以得到
cos x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − ⋯ + ( − 1 ) m 1 2 m ! x 2 m + R 2 m + 1 ( x ) \cos x = 1 - \cfrac{1}{2!}x^2 + \cfrac{1}{4!}x^4 - \cdots + (-1)^m \cfrac{1}{2m !} x^{2m} + R_{2m + 1}(x) cosx=1−2!1x2+4!1x4−⋯+(−1)m2m!1x2m+R2m+1(x)
其中
R 2 m + 1 ( x ) = cos [ θ x + ( m + 1 ) π ] ( 2 m + 2 ) ! x 2 m + 2 ( 0 < θ < 1 ) ; R_{2m + 1}(x) = \cfrac{\cos{[\theta x + (m + 1)\pi]}}{(2m + 2)!} x^{2m + 2} \quad (0 < \theta < 1); R2m+1(x)=(2m+2)!cos[θx+(m+1)π]x2m+2(0<θ<1);
ln ( x + 1 ) = x − 1 2 ! x 2 + 1 3 x 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 1 n x n + R n ( x ) , \ln{(x + 1)} = x - \cfrac{1}{2!}x^2 + \cfrac{1}{3}x^3 - \cdots + (-1)^{n - 1} \cfrac{1}{n} x^n + R_n (x), ln(x+1)=x−2!1x2+31x3−⋯+(−1)n−1n1xn+Rn(x),
其中
R n ( x ) = ( − 1 ) n ( n + 1 ) ( 1 + θ x ) n + 1 ( 0 < θ < 1 ) ; R_n (x) = \cfrac{(-1)^n}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}} \quad (0 < \theta < 1); Rn(x)=(n+1)(1+θx)n+1(−1)n(0<θ<1);
( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n + R n ( x ) , (1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \cfrac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{\alpha (\alpha - 1) \cdots(\alpha- n + 1)}{n!}x^n + R_n (x) , (1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn+Rn(x),
其中
R n ( x ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) ( α − n ) ( n + 1 ) ! ( 1 + θ x ) α − n − 1 x n + 1 ( 0 < θ < 1 ) . R_n (x) = \cfrac{\alpha (\alpha - 1) \cdots(\alpha- n + 1)(\alpha - n)}{(n + 1)!}(1 + \theta x)^{\alpha - n - 1} x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1). Rn(x)=(n+1)!α(α−1)⋯(α−n+1)(α−n)(1+θx)α−n−1xn+1(0<θ<1).
例3 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限 lim x → 0 sin x − x cos x sin 3 x \lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\sin x - x \cos x}{\sin^3 x} x→0limsin3xsinx−xcosx .
解：由于分式的分母 sin 3 x ∼ x 3 ( x → 0 ) \sin^3 x \thicksim x^3 (x \to 0) sin3x∼x3(x→0) ，我们只需将分子中的 sin x \sin x sinx 和 x cos x x \cos x xcosx 分别用带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式表示，即
sin x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) , x cos x = x − x 3 2 ! + o ( x 3 ) . \sin x = x - \cfrac{x^3}{3!} + o(x^3), \quad x \cos x = x - \cfrac{x^3}{2!} + o(x^3) . sinx=x−3!x3+o(x3),xcosx=x−2!x3+o(x3).
于是
sin x − x cos x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) − x + x 3 2 ! − o ( x 3 ) = 1 3 x 3 + o ( x 3 ) , \sin x - x \cos x = x - \cfrac{x^3}{3!} + o(x^3) - x + \cfrac{x^3}{2!} - o(x^3) = \cfrac{1}{3} x^3 + o(x^3) , sinx−xcosx=x−3!x3+o(x3)−x+2!x3−o(x3)=31x3+o(x3),
对上式作运算时，把两个比 x 3 x^3 x3 高阶的无穷小的代数和仍记作 o ( x 3 ) o(x^3) o(x3) ，故
lim x → 0 sin x − x cos x sin 3 x = lim x → 0 1 3 x 3 + o ( x 3 ) x 3 = 1 3 . \lim_{x \to 0} \cfrac{\sin x - x \cos x}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \cfrac{\cfrac{1}{3} x^3 + o(x^3)}{x^3} = \cfrac{1}{3} . x→0limsin3xsinx−xcosx=x→0limx331x3+o(x3)=31.
原文链接：高等数学 3.3 泰勒公式