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CH1-2 误差分析

news 2024/11/14 13:47:25

一、误差的概念

用计算机进行实际问题的数值计算时，往往求得的是问题的近似解，都存在误差。

模型误差：在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化，因此和实际问题有一定的区别。

观测误差：在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的。

截断误差：利用数值方法求得近似解时，数值方法本身的误差。

比如用泰勒展开时，只保留部分项

舍入误差：计算机字长有限，只能对有限位进行运算，超过的位数按一定规则舍入（量化中的舍入误差，在整数域上更明显）

\pi = 3.14159265...

\pi\approx3.1415927

计算方法不研究模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差在计算过程中的传播和对结果的影响，以求提高计算的精度。

二、误差的引入

为什么要分析误差？

例如对于：

I_n= \frac{1}{e}\int_{0}^{1} x^n e^x dx, n=0,1,2,...

上面的公式有递推公式：

I_n = 1-nI_{n-1}

因此可以先求出 I^0 的近似解，利用递推公式计算其它项：

发现上面的式子的值越来越大：

在 [0,1] 区间内，有 e^0\le e^x \le e^1，则

\frac{1}{e} \int_{0}^{1} x^n e^0 dx < I_n < \frac{1}{e}\int_{0}^{1} x^n e^1 dx

得： \frac{1}{e(n+1)}<I_n <\frac{1}{n+1} ，因此得出 n 越大，I_n 的值就越接近 0

可是上面的计算结果与之矛盾，假设误差为 |E_n|，则

|E_n|=|I_n-I_n^*|=(1-nI_{n-1})-(1-nI^*_{n-1})=n|E_{n-1}|=n!|E_0|

由此可见初始的微小扰动 |E_0| < 0.5 \times 10^{-8} 会导致误差的迅速积累。

上面这种误差迅速积累的算法就称为不稳定的算法（仅限数值分析的语境中）。

而相反的，能够有效控制误差的算法，称为稳定的算法（仅限数值分析的语境中）。

三、误差的度量

绝对误差：

设 x 为准确值，x^* 为近似值，则 e(x^*)=x^*-x

称 e 为近似值 x^* 的绝对误差，简称为误差，记为 e^*

【绝对】误差限：

如果知道 e(x^*) 绝对值的某个上界，即

|e(x^*)| \le \epsilon(x^*)

称 \epsilon(x^*) 为绝对误差限，记为 \epsilon^*

下面两个概念要用到上面这两个概念

相对误差：

e_r(x^*)=\frac{e(x^*)}{x}=\frac{x^*-x}{x} 

记为 e_r^*，e_r^* = \frac{e^*}{x}

相对误差就是绝对误差 e^* 除以一个 x，记为 e^*_r 

相对误差限：

如果知道相对误差的某个上界，即

|e_r(x^*)|=|\frac{x^*-x}{x}|=\frac{\epsilon^*}{|x|}\le\epsilon_r(x^*)

称 \epsilon_r(x^*) 为近似值 x^* 的相对误差限，记为 \epsilon_r^*

相对误差限就是绝对误差限 \epsilon^* 除以一个 |x|，记为 \epsilon_r^*

由于真实值 x 在某些情况下无法知道，因此计算相对误差和相对误差限时往往替换为 x^*，即：

e_r = \frac{e^*}{x^*}, \epsilon_r=\frac{\epsilon^*}{|x^*|}

这在 e_r = \frac{e^*}{x^*} 较小时成立，如下公式，分母接近 1，分子为 e_r = \frac{e^*}{x^*} 的平方项，式子的值很小。

例题：计算相对误差限。

x^*=15, \epsilon(x) = 2; y^*=1000, \epsilon(y^*)=5

解： 

\epsilon_r^* = \frac{\epsilon^*}{|x^*|}

\epsilon_r^*(x^*) = \frac{\epsilon(x^*)}{|x^*|} = \frac{2}{15}=13.33\%; 

\epsilon_r^*(y^*) = \frac{\epsilon^*(y^*)}{|y^*|} = \frac{5}{1000} = 0.5\% 

 


http://www.mrgr.cn/news/30176.html

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